淺析抽象函數(shù)概念教學(xué)

抽象函數(shù)通常指一類沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù)，其概念是非常簡(jiǎn)單的形式定義，它的意象表征抽象而又比較靈活，學(xué)生理解有相當(dāng)難度，很難明確概念的內(nèi)涵，并對(duì)概念的本質(zhì)屬性準(zhǔn)確揭示。而抽象概念學(xué)習(xí)是整個(gè)抽象函數(shù)的基礎(chǔ)，概念不清就談不上進(jìn)一步討論抽象函數(shù)的其它問(wèn)題。如何設(shè)計(jì)抽象函數(shù)的概念教學(xué)就成為函數(shù)教學(xué)的當(dāng)務(wù)之急。下面本文對(duì)抽象函數(shù)的概念教學(xué)進(jìn)行了初步探究。

一、 從函數(shù)概念的本質(zhì)屬性上把握

對(duì)于函數(shù)，大多數(shù)學(xué)生都在頭腦中存在著非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤觀念：“有完整數(shù)學(xué)表達(dá)式的才是函數(shù)。”這也是他們不能理解抽象函數(shù)的根本原因。其實(shí)不然，他們并沒(méi)有真正掌握函數(shù)的本質(zhì)特征。什么是函數(shù)的本質(zhì)屬性？ “按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，非空數(shù)集中的每一個(gè)元素x，在非空數(shù)集B中都有唯一的元素與它相對(duì)應(yīng)，這種從A到的B對(duì)應(yīng)是函數(shù)”。其概念有兩個(gè)要點(diǎn)：一是數(shù)集A中的每一個(gè)元素在B中都有對(duì)應(yīng)的元素；二是數(shù)集A中每一個(gè)元素的對(duì)應(yīng)元素只有一個(gè)。滿足這兩個(gè)條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)，這就是函數(shù)的本質(zhì)屬性，也是抽象函數(shù)的內(nèi)涵。這意味著，如果能夠認(rèn)識(shí)到函數(shù)的本質(zhì)特征，是函數(shù)不變的性質(zhì)，除此之外，一切都是可變的，那么，表達(dá)形式對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)就是無(wú)關(guān)緊要的了。實(shí)質(zhì)上，抽象函數(shù)y=f(x)，是指對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→f(x)，其中x是自變量，定義域中的元素，f(x)是值域中的元素，意即對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”把定義域中的元素“x”變成了值域中的元素“f(x)”。因此，從本質(zhì)上講，抽象函數(shù)與其它的函數(shù)，尤其是具體函數(shù)，是沒(méi)有差別的，我們也就可以借助于具體函數(shù)來(lái)討論抽象函數(shù)了。

二、 從函數(shù)的符號(hào)表示上把握

形式不是函數(shù)的本質(zhì)，符號(hào)當(dāng)然也不是。而解析式表示的函數(shù)，其自變量可以是任意字母的，自變量的存在形式也可以任意。那么，沒(méi)有解析式的函數(shù)，其自變量的存在形式可以任意，但自變量是唯一的。例如，函數(shù)y=f(x)，x∈R表示以x為自變量，對(duì)應(yīng)關(guān)系為f的函數(shù)。那么y=f(2x-1)的自變量是x還是2x-1？我們不妨假設(shè)y=f(x)是一個(gè)具體函數(shù)f(x)=x+1，則f(2x-1)=2x，即y=2x。現(xiàn)在就無(wú)需爭(zhēng)辯了，自變量當(dāng)然是x，而2x-1僅僅是一個(gè)中間量。一般地說(shuō)，一個(gè)含x的函數(shù)式，無(wú)論它以什么樣的形式給出，其自變量都是x，而不是x的某一代數(shù)形式。明確了抽象函數(shù)的自變量，那么有關(guān)于定義域的問(wèn)題，比如：已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇1，2]，求函數(shù)y=f(2x-1)的定義域，就迎刃而解了。但是，下面這個(gè)問(wèn)題：“已知函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)閇1，2]，求函數(shù)y=f(x)的定義域。”解決時(shí)需要慎重一些。當(dāng)然，如果搞清了函數(shù)的自變量，問(wèn)題就不是問(wèn)題了。根據(jù)前面的討論，函數(shù)y=f(2x-1)中，自變量是x，而2x-1僅僅是一個(gè)中間量，因此，函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)閇1，2]，即x∈ [1，2]，得2x-1∈[1，3]。而函數(shù)y=f(x)中的“x”相當(dāng)于y=f(2x-1)中的“2x-1”這個(gè)整體，故函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇1，3]。

三、 從函數(shù)的圖像及某些性質(zhì)上把握

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用函數(shù)圖像研究抽象函數(shù)的對(duì)稱性，你會(huì)有意想不到的收獲。例如，設(shè)函數(shù)y=f(2x-1)是一個(gè)偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸是什么？有些學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為對(duì)稱軸還是y軸。產(chǎn)生此誤解的原因是前面的問(wèn)題還沒(méi)有搞清楚，誤認(rèn)“2x-1”是自變量，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。實(shí)際上應(yīng)該這樣解答：因?yàn)閥=f(2x-1)是偶函數(shù)，則-f(2x-1)=f(2x-1)，即有f(2x-1)=f[-(2x-1)-2]，令2x-1=t，即有f(t)=f(-t-2)，從而可知y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸是直線x=1。

如果從函數(shù)圖像變換來(lái)看也可以這樣解：

圖像變換如下：函數(shù)y=f(x)圖像 函數(shù)y=f(2x)圖像 函數(shù)y=f[2(x-

四、從函數(shù)的反函數(shù)的角度上把握

反函數(shù)與原函數(shù)有著密切的關(guān)系，深刻理解二者之間的聯(lián)系與區(qū)別能加深對(duì)抽象函數(shù)的二重性的認(rèn)識(shí)，提升概念

總而言之，抽象函數(shù)的概念教學(xué)不能僅僅停留在簡(jiǎn)單的語(yǔ)義表述上，而應(yīng)淡化形式，注重實(shí)質(zhì)。抽象函數(shù)概念的理解應(yīng)是多維度、多因素的。抽象函數(shù)僅僅是函數(shù)中的一個(gè)概念，應(yīng)從整個(gè)函數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)來(lái)理解，引導(dǎo)學(xué)生向相關(guān)知識(shí)遷移，重視概念的表層知識(shí)與對(duì)象結(jié)構(gòu)諸種概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)概念理解的層次觀，逐步完善對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”