從兩道經典題談數學的基本思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。“數學思想”比一般的“數學概念”具有更高的概括抽象水平，數學用到的各種數學方法，都體現著一定的數學思想。只有掌握了數學思想方法，才能真正地掌握數學的通性、通法，才能從整體上、本質上掌握數學。

德國著名科普作家漢斯·尤爾根·普雷斯《游戲中的科學》中有一道題：在一個骰子形的塑料方盒中，放入四層杏仁糖球，每層16枚，直到盒的邊緣；另一只同樣大小的塑料盒中只放入正好裝入盒子的一顆杏仁糖球。問那個盒子里放的糖多。

方法3： 用水倒滿第一個盒子，再將第一個盒子里的水倒入第二個盒子。 第一個盒子里的水正好將第二個盒子盛滿（兩個盒子的剩余空間一樣大）， 所以兩個盒子裝的糖球一樣多。

方法1是我們最容易想到的方法，但需要進行計算；方法2不需要計算，但要求我們掌握球體與它的外切正方體體積的關系，體現了數形結合的數學思想；方法3比較直觀但不能在考試的時候適用，但體現了數學上逆向思維的思想方法。

大約在1500年前《孫子算經》中記載了一個著名的雞兔同籠問題：“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？”

方法1： 利用方程求解：設雞x只，兔y只，則x+y=352x+4y=94，解得x=23，y=12。

方法2： 假定都是雞，則有足70只，每多一只兔，則多足2只，共多足24只，所以有兔（94-35×2）÷（4-2）=12只，再算出雞數23只。

方法3： 假如砍去每只雞的一半腳和每只兔的一半腳，則雞變成了“獨腳雞”，兔變成了“雙腳兔”，這樣腳的總數就變成了94÷2=47只，顯然腳的總數與頭的總數的差47-35=12即為兔的只數。

方法1最容易理解，它涉及到數學思想中的方程思想，即當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。

方法2是我們小學數學中的基本解法。

方法3（砍足法）是《孫子算經》中的解法，思路新穎而奇特，也令古今中外的數學家們贊嘆不已。這種思維方法叫化歸法，即在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化最終歸成某個已經解決的問題。

通過上面兩個問題我們可以看出：數學思想的本質就是將復雜的問題簡單化、未知問題已知化，類似于無理問題有理化（就是碰到無理數，先把它有理化）、切割問題化為弦、函數問題圖像化、無窮問題有限化、絕對值問題去絕對值化（想辦法去掉絕對值符號，再分類討論，最后總結，得出結論）。

數學在高考中涉及的數學思想有以下幾種:

1 分類討論思想

分類討論思想是以概念的劃分、集合的分類為基礎的解題思想，是一種邏輯劃分的思想方法。分類討論的實質是“化整為零、積零為整”。科學分類的基本原則是正確、不重不漏、合理、便于討論；科學分類的步驟是：明確對象的全體——確定分類標準——科學分類——逐一討論——歸納小結得出結論。

2 函數與方程的思想

函數與方程是貫穿中學數學的主線，函數是客觀實踐中量與量之間相互依存、相互制約的關系的反映，方程則是這種關系在某種特定條件下的具體形式。

3 變換與轉化思想

在研究和解決一些數學問題時常采用某種手段進行命題變換，以達解決問題的目的。

常見有以下三個方面：

①把復雜問題通過變換轉化為較簡單的問題；

②把較難問題通過變換轉化為較易的問題；

③把沒解決問題通過變換轉化為已解決的問題。

常見轉化方法有：直接轉化法、換元轉化法、數形結合轉化法、構造模型轉化法、參數轉化法、類比轉化法。

4 數形結合思想

數形結合思想是應用客觀事物中數與形的對應關系，把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，利用圖形進行思維簡縮。

數形結合住住借助：

① 函數與圖像的對應關系；

② 方程與曲線的對應關系；

③ 以幾何元素，幾何條件建立的概念；

④ 數與式的結構具有明顯的幾何意義。

另外還有歸納類比思想、概率統計思想等，例如利用歸納類比思想可以對某種相類似的問題進行研究而得出它們的共同點，從而得出解決這些問題的一般方法；概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。

數學思想和方法與具體的數學知識是一個有機整體，它們互相依存、相互關聯、協同發展，是具體數學知識的本質和內在聯系的反映，具有高度的抽象性和概括性。我們在數學學習中往往存在著重結論、輕過程，重形式、輕內容，重技巧、輕思想，重解題、輕應用，為做題而做題等一些問題。 用數學思想方法指導概念的學習、知識的發現，可以更好地在解題中突破難點。重視對數學思想的培養，對于我們思維能力的發展和提高對數學的學習興趣，以及對解決非數學問題，都具有非常重要的意義和作用。

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