基于ＶａＲ約束的證券組合選擇方法研究

［摘要] VaR是目前國際上金融風險管理的主流方法之一，本文在簡要介紹的VaR概念及計算方法后，在經典的Markowitz均值-方差模型的基礎上，加入了VaR約束，研究了基于VaR約束的證券組合投資決策優化模型及其有效邊界，并就此VaR模型的數學特性進行了分析。

[關鍵詞] 證券組合風險價值均值-方差模型有效邊界

一、引言

由Markowitz在1952年發表的一篇題為“證券組合的選擇”的論文被公認為“標志著現代證券組合理論的開端”。Markowitz根據每一種證券的期望收益率、方差和證券間的協方差矩陣，構建證券組合的有效邊界，再根據投資者的效用無差異曲線，確定最優投資組合。然而，在實際投資環境中，風險厭惡型的投資者不僅要求投資組合的實際收益率能夠達到給定的期望收益率，同時也希望能夠以較大的概率保證未來遭受的最大可能損失不超過某一值。為了克服傳統風險計量方法在理論和實踐中的缺陷，20世紀90年代以來，風險價值(Value at Risk，VaR)作為對市場風險計量的重要方法在金融領域中得到了廣泛的應用，而且與投資組合的管理和決策有著密切的聯系。為此，本文先簡單介紹VaR方法，然后在Markowitz均值—方差模型的基礎上增加VaR約束，研究基于VaR約束的投資組合優化模型。

二、方法簡介

是指在正常的市場條件下和給定的置信水平內，某一金融資產或證券組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失，稱為“風險價值”。在VaR模型中，使用金融理論和數理統計理論，把一種資產或組合的各種市場風險歸納起來用一個單一的指標(VaR值)來衡量。VaR方法有三個要點：

1.置信水平c的選擇

這主要是基于風險管理的需要。如果非常關心VaR實際計算結果的有效性，則置信度不應選的過高，置信度越高，則實際中損失超過VaR的可能性越小，這種額外損失的數目越少，為驗證預測VaR結果所需的數據越多。一般來說，時間范圍相同，置信度越高，VaR值越大。

2.持有期間t

這時應根據資產的流動性、正態性和一定的交易量所需要的時間來確定。金融經濟學的實證研究表明，時間跨度越短，實際回報分布越接近正態分布。因此，在較短的持有期下得到的估計更加合理。投資于高流動性的資產，選擇的期限一般較短，往往以日或者周為期計算值。對于按季節調整的資產，時間范圍一般選擇為90天。盡管VaR值與時間范圍有關，但一般說來，實際應用中的VaR值計算方法采用的是不十分精確但被使用者普遍接受的簡單可行的方法。其方法是：t天的VaR值近似地等于1天VaR的值乘 。

3.度量風險VaR的值

設某一投資組合的初始價值為W0，投資組合價值的概率密度函數為，在一定的持有期t內和置信水平c下，根據概率密度函數，求，使(1)即(2)

假設在所考慮的時間范圍內的投資組合的收益率為Rp，則投資組合的期末價值W為(3)

由上述的可確定投資組合收益率，使(4)

設RP的均值為E(RP)，方差為，則(5)

VaR值的計算與概率分布有很大的關系。如果投資組合的收益率服從正態分布，即設組合收益率，其密度函數記為，則w也服從正態分布，記其密度函數為。則由VaR的定義可得：(6)

其中為標準正態分布密度函數，設N(x)為累積標準正態分布函數，則由(6)可得：(7)

令，其中>0，則有，假設持有期t(單位為年)，由隨機游走的性質可知，持有期內資產組合的收益率服從分布，則VaR的計算公式可簡化為：(8)

VaR方法逐漸成為度量金融風險的主流方法，許多金融機構及其業務部門在投資選擇時，往往需要滿足VaR約束。故此，本文將在Markowitz均值—方差模型的基礎上，研究具有VaR約束的投資組合優化問題。

三、基于VaR約束的投資組合模型

1.Markowitz均值-方差模型

對于由n種金融資產組成的投資組合，經典的Markowitz均值-方差模型是一個關于正定矩陣的二次規劃模型：

其中，xi為第種金融資產在投資組合中的權重;Ri為第i種金融資產的投資收益率;E(Ri)為第i種金融資產的期望收益率，i=1，2…n;RP為證券組合的收益率;E(Rp)為證券組合的期望收益率;為投資組合的方差。

由該模型的解可以確定組合資產中的最小方差組合(MVP)，其全體構成的集合為最小方差邊界，即圖中E(Rp)-σp平面上的一條雙曲線，該雙曲線上的資產組合都是在同等收益水平上風險最小的資產組合。

圖基于約束的投資組合的有效邊界

2.約束下的投資組合選擇模型

在一般化的模型中，VaR約束包括兩個方面，即:計算VaR的置信度與所允許的最大的VaR，即邊界。這一過程將從給定VaR約束下，識別不同水平的期望收益率下使方差最小的投資組合開始。這樣，對資產的選擇將依賴于投資者對風險規避的程度。

在Markowitz模型中加入VaR約束，設置信水平為C，由VaR的定義，有：(9)

由此得到具有約束的最優均值-方差模型為：

在資產收益率服從正態分布的情況下，(9)式可以轉化為(10)

即(11)

其中，(·)是標準正態分布的分布函數。由此VaR約束條件在幾何上就表示一條斜率為，截距為-VaR的直線，即為市場風險邊界。在該直線或其以上的全部投資組合都以C的概率保證其收益率超過最小值－VaR，其損失不超過VaR;而在該直線以下的全部投資組合收益率在置信度1-c下不超過-VaR。給定置信度的最小回報率將隨回報率期望值的增加(假定標準差保持不變)而增加，并隨回報率標準差的增加(假定期望回報率保持不變)而減少。這樣，將傳統最小方差邊界MVP與市場風險邊界結合起來，具有VaR約束的投資組合的選擇僅僅限定在最小方差邊界與VaR約束直線之間的陰影部分，即點A與點B之間的弧段AB上，如圖。進一步地根據有效邊界定理，有效投資組合的選擇應為雙曲線頂點C與A點之間的弧段CA。

四、VaR模型的特性分析

VaR可以度量包括利率風險、匯率風險、股票風險以及商品價格風險和金融衍生產品風險在內的各種市場風險，并將多種市場風險換算成一個用貨幣計量的，直接與收益相配比的指標數值，使人們可以明確的知道組合在不同程度上所處的風險狀況。VaR模型的數學特性對于投資決策具有重要的現實意義。

1.VaR模型具有事前風險防范的作用。在進行投資決策過程中，首先要確定置信水平和VaR值。大多數投資者都屬于風險規避型，除了以證券組合的均值、方差作為投資決策的依據，還要求實際收益率比某個給定的期望收益率要大。在均值-方差模型中加入了VaR約束后，將投資者不能接受的投資組合排除在外，同時將投資可能發生的最大損失降至投資者能承受的概率水平。

2.VaR模型具有高效性。VaR約束下的投資組合有效邊界比Markowitz的均值-方差模型的有效邊界短，在加入約束后的投資決策的范圍在一定程度上有所縮小，排除了投資者所不能接受的投資組合，大大提高了投資決策的效率。VaR組合模型得出的是一組互不相交的不同置信水平下的有效邊界族，隨著c的增加，有效邊界的范圍逐步增大，由此可見利用VaR模型進行投資組合的效率更高。

2.體現了投資者的個別偏好。傳統的Markowitz模型在利用有效邊界解決投資者共同偏好的基礎上，對個別偏好決策的處理是以個別投資者的效用無差異曲線與有效邊界的切點作為最優投資決策。但是傳統模型中無差異曲線的確定比較困難，對有效邊界上投資者個別偏好的準確選擇造成了障礙。基于VaR約束下的投資決策模型側重于控制最大損失發生的概率，而不是損失的大小。在VaR模型中，不同的置信水平對應于不同的VaR值。對于厭惡風險的投資者來說，要盡量降低投資風險，則應選擇較高的置信水平，以便能鎖定風險；對于喜好風險的投資者來說，可以設置較低的置信水平，此時VaR值較低，以利于做出積極的投資策略。和傳統的Markowitz模型的投資決策思路相比，利用VaR組合模型進行投資決策，在置信水平確定時就已經將共同偏好和個別偏好的解決合為一體，從而目的更清晰、方式更簡潔。

五、結語

VaR在風險測量、風險限額設定和績效評估中有著廣泛的應用，本文在Markowitz證券組合理論的框架下，研究了基于VaR約束的證券組合投資決策優化模型，并討論了其有效邊界的變化。然而，在研究VaR模型特性的同時，也應該注意到它的局限性。VaR描述的是正常波動下的最大可能損失，而不能處理金融市場出現劇烈波動的極端市場情形，如股票崩盤。而且由于VaR約束縮小了經典均值-方差模型的投資組合選擇范圍，可能會出現兩種極端的情況，一是VaR約束可能太嚴以至于任何選擇都可能被排除在外；二是VaR約束可能過松，并沒有起作用。那么如何利用該模型進行有效投資組合決策呢？這是我們今后需要繼續討論的問題。