中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模意識(shí)的培養(yǎng)

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)方向。本文論述了培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)的途徑，并舉例說(shuō)明了數(shù)學(xué)建模在轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、創(chuàng)新能力的意義，以使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用意識(shí) 創(chuàng)新能力

一、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)建模意識(shí)的實(shí)證分析

1. 可能性證明

在日常生活中，有許多問題如抵押貸款買房、企業(yè)利潤(rùn)最大化、購(gòu)物、旅游及生產(chǎn)的方案選擇問題等，都可能利用中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，建立初等數(shù)學(xué)模型來(lái)加以解決。下面以一個(gè)具體的實(shí)例說(shuō)明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用及培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)的可能性。

例：怎樣設(shè)計(jì)易拉罐的高和底面半徑的比例，使易拉罐用料最省。

模型假設(shè)：為簡(jiǎn)化討論，我們把它設(shè)為一個(gè)正圓柱體，且上底的厚度為其它部分厚度的3倍（由于易拉罐上底的強(qiáng)度必須要大一點(diǎn)才能保證打開）。其相應(yīng)的變量和參數(shù)為：

v——罐裝飲料的體積

r——半徑

b——制罐鋁材的厚度

p——制造工藝上必須要求的折邊長(zhǎng)度

h——圓柱高

乎與上述計(jì)算完全一致！還可以把折邊這一因素考慮進(jìn)去，然后得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并求解之，最后看看與實(shí)際的符合程度如何。

模型推廣：本問題中我們的研究對(duì)象僅僅是易拉罐，實(shí)際上生活中還有很多類似易拉罐的問題，如啤酒瓶、裝洗發(fā)水的瓶子、口杯等，因此我們完全可以將此模型推廣到容積為V（V可任取）的任意形狀的容器，甚至可以推廣到質(zhì)量為M的任意形狀的罐體。由此可見，對(duì)于類似易拉罐的情況，該模型具有極為廣泛的應(yīng)用性，我們都可以通過該模型求得很多圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

2. 必要性分析

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家熊菲爾德有一個(gè)很值得思考的數(shù)學(xué)測(cè)試題：“一艘船上載了75頭牛，32頭羊，問船長(zhǎng)幾歲?”這樣一道題目居然有學(xué)生做出來(lái)了：75-32=43歲。為什么會(huì)有這樣可笑的答案出現(xiàn)呢？我想原因在于如今考試幾乎成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一目的，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活以及其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系太少，使學(xué)生缺乏將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí)。

在近幾屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)中，“問題解決、模型化和應(yīng)用”被列入了幾個(gè)主要的研究問題之一。在我國(guó)普通高中新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，也已明確提出要“切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力”，要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索、猜測(cè)、判斷、證明、運(yùn)算、檢驗(yàn)，使問題得到解決”。因而，現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也正從過去純粹的數(shù)學(xué)理論教學(xué)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橘N近實(shí)際生活的應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)，而數(shù)學(xué)建模正是數(shù)學(xué)應(yīng)用的源泉，是新課程改革的突破口，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)已勢(shì)在必行。

二、掌握數(shù)學(xué)建模方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)

1. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模方法

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式、算法、表格、圖示等。數(shù)學(xué)中的許多基本概念，大都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景加以抽象出來(lái)的。許多數(shù)學(xué)公式、方程式、定理等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。例如，指數(shù)函數(shù)就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問題甚至實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)來(lái)解決。而通過對(duì)問題數(shù)學(xué)化、構(gòu)建模型、求解檢驗(yàn)使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法。具體地講，數(shù)學(xué)模型方法的操作程序大致上為：

2. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)

怎樣把一個(gè)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)、加工、抽象表達(dá)成一個(gè)數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而選擇合適的正確的數(shù)學(xué)方法來(lái)求解，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵所在。這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。當(dāng)然學(xué)生這種能力的獲得也不是一朝一夕的事情，這需要把數(shù)學(xué)建模意識(shí)貫穿在教學(xué)的始終，也就是要不斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問題的目的，使數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。

三、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)的基本途徑

1. 結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，分層次逐步推進(jìn)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)根據(jù)可接受性教學(xué)原則，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，選擇貼近學(xué)生實(shí)際的問題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。同時(shí)，我們的數(shù)學(xué)建模教學(xué)不應(yīng)拘泥于形式，我們應(yīng)選擇緊貼生活及社會(huì)實(shí)際的典型問題，從課本中挖掘應(yīng)用實(shí)例，深入分析，逐漸滲透數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生從過去的“聽數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變到“做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”。

2. 充分挖掘教材，將數(shù)學(xué)模型生活化。數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，更加注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性，強(qiáng)調(diào)從生活實(shí)際出發(fā)，以學(xué)生知識(shí)為出發(fā)背景，提取出數(shù)學(xué)問題。因此，我們可以利用現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，向?qū)W生介紹一些常用的、典型的基本數(shù)學(xué)模型，如函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、數(shù)列模型、概率模型、幾何模型、幾何曲線模型等。如在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，我們可以將y= 與細(xì)菌繁殖、人口增長(zhǎng)、物質(zhì)衰變、地震強(qiáng)度等相聯(lián)系，隨自變量x算術(shù)地增長(zhǎng)a、2a、3a、…、na、…，因變量y幾何地增長(zhǎng) 那么它們之間存在著指數(shù)函數(shù)關(guān)系 。總之，我們要在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷滲透數(shù)學(xué)建模的思想，同時(shí)讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)模型生活化，體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性，從而激發(fā)學(xué)生去應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的興趣；同時(shí)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該增強(qiáng)更具廣泛應(yīng)用性部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)，如導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計(jì)、概率、線性規(guī)劃、系統(tǒng)分析與決策。

3. 理論聯(lián)系實(shí)際，將生活問題數(shù)學(xué)模型化。在理論聯(lián)系實(shí)際時(shí)，我們應(yīng)結(jié)合課堂教學(xué)和學(xué)生的實(shí)際水平，注重聯(lián)系那些既對(duì)學(xué)生走向社會(huì)適應(yīng)未來(lái)生活有所幫助，又對(duì)學(xué)生的智力訓(xùn)練有價(jià)值的內(nèi)容。比如高三的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，在生活中的應(yīng)用例子隨處可見。如“在公園里當(dāng)游船劃到岸邊時(shí)服務(wù)員用繩子拉船靠向岸邊時(shí)，問船的速度及加速度與繩速的關(guān)系怎樣”這種“拉船靠岸”的問題，再如學(xué)校中的食堂存糧最優(yōu)問題等等都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的極好例子。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模是體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問題和數(shù)學(xué)思維過程的最好的載體之一。在教學(xué)中，應(yīng)堅(jiān)持學(xué)生為主體，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自覺地構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí)，從單純的解題技巧和證明中解放出來(lái)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)真正的數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是活生生的數(shù)學(xué)，是與生活密切相關(guān)的。從而讓數(shù)學(xué)建模意識(shí)順著知識(shí)的活水，注入學(xué)生的肌膚，化為信念，成為學(xué)生終身享用的財(cái)富。只有這樣，才能使我們的數(shù)學(xué)教育真正從應(yīng)試教育走上素質(zhì)教育的正確軌道。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”