靈活運用“微元法”解決幾何問題的相關計算

摘 要：定積分的應用是微積分的重要內容，學生在學習中往往把重點放在計算步驟上，忽視對“微元”這一概念的理解，很多學生對定積分的應用感到困難。而“微元法”重點在微元的確定，牢固掌握“微元”的概念，是我們靈活思考和合理運用的關鍵。本文通過解決幾何問題的實例對這個問題作了分析和探討。

關鍵詞：幾何問題 微元法 積分

在求平面圖形面積等積分教學實踐的小結中，一般學生重視的、教師強調的重點是基本步驟：

1. 作出所研究問題的圖形，求出交點，確定積分的區間；

2. 正確選擇積分變量；

3. 確定被積表達式；

4. 計算定積分。

此步驟是由“微元”法推出來的。筆者認為這種強調方式沒有靈活性，且很大程度上造成學生對本質概念的忽視，從而造成學習者對某些問題難以處理和無法處理的結果。

因此，在這部分的教學中要再次強調“微元法”的概念，即無論所求的是平面圖形的面積、體積、曲線長度還是曲面面積等，也無論你將所求的面積、體積如何分割，本著在局部“以常代變”、“以勻代不勻”、“以直代曲”、“以平代不平”、“以規則代不規則”的思路（局部線性化），寫出的微元應具有一般性，且對微元“累加”得到的就是所求的問題。即微元作為被積表達式。對于積分區間（區域）則只要求積分變量在變化過程中一次含蓋所求問題的全部就行，以最大限度地發揮“微元法”的作用，靈活處理相關問題。下面舉例給予說明。

參考文獻：

［1］侯風波.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］盛祥耀.高等數學輔導(下冊)［M］. 北京：清華大學出版社，1983.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”