談談數(shù)軸的學習與應用

數(shù)軸形象地反映了數(shù)與形之間的對應關系，實現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，它可以幫助我們直觀地理解有理數(shù)中的有關概念，還可以運用它來解決許多數(shù)學問題.因此，要學好有理數(shù)，一定要學好數(shù)軸、用好數(shù)軸.

一、如何學好數(shù)軸

要學好數(shù)軸必須注意以下兩點：

1．正確畫好數(shù)軸.規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.可見，數(shù)軸必須具備三大要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可，否則就不是數(shù)軸.有些同學常將數(shù)軸畫成如下的圖形，它們都不是數(shù)軸，你知道為什么嗎？

答案：（1）出現(xiàn)了兩個正方向；（2）缺少正方向；（3）缺少單位長度；（4）缺少原點；（5）單位長度不一致；（6）負數(shù)的排列錯誤.

2．正確理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點之間的關系.正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示.可見，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但是反過來，數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)（還可以表示無理數(shù)，這在以后將學到）.

二、怎樣用好數(shù)軸

要用好數(shù)軸，就要從以下幾個方面入手：

1．利用數(shù)軸加深對有理數(shù)的認識

（1）正確認識0

負數(shù)的引入，使數(shù)的范圍擴大了，0除了表示一個也沒有外，還是正數(shù)和負數(shù)的分界嶺，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù).從數(shù)軸上看，表示0的原點的左邊是表示負數(shù)的點，右邊是表示正數(shù)的點.

（2）正確認識整數(shù)

從數(shù)軸上可以看出：沒有最小的整數(shù)，也沒有最大的整數(shù)；最大的負整數(shù)是-1，最小的正整數(shù)是1.

（3）正確理解正數(shù)、負數(shù)

在數(shù)軸上，原點左邊的所有點都表示負數(shù)，且越往左邊，數(shù)越小；原點右邊的所有點都表示正數(shù)，且越往右邊，數(shù)越大.從數(shù)軸上可以看出，沒有最小的負數(shù)，也沒有最大的負數(shù)，同樣，沒有最小的正數(shù)，也沒有最大的正數(shù).

例1 （呼和浩特市中考試題）點A為數(shù)軸上表示-2的點，當A點沿數(shù)軸移動4個單位長度到點B時，點B所表示的數(shù)為（ ）.

A．2 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上答案

解析：本題因為沒有說明點A沿數(shù)軸移動的方向，故結合數(shù)軸（如圖1）可知，本題有兩個答案：分別為2或-6，所以選C.

2．利用數(shù)軸理解相反數(shù)的意義

只有符號不同絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)為零.結合數(shù)軸，我們可以更深刻地理解相反數(shù)的含義：位于原點的兩旁，并且到原點的距離相等.

例2 判斷正誤：到原點的距離是4個單位長度的點應有兩個，分別在原點的左邊、右邊，表示的數(shù)為-4或4. （ ）

解：判“√”.

3．利用數(shù)軸理解絕對值的意義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值.求一個數(shù)a的絕對值，就是求它到原點的距離.因為距離不可能是負數(shù)，所以任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即對于有理數(shù)a，a≥0.絕對值的意義從數(shù)軸上看更是一目了然.一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.特別地，兩個數(shù)互為相反數(shù)，其絕對值必相等；若兩個數(shù)的絕對值相等，那么，這兩個數(shù)有兩種情況：相等或互為相反數(shù).

例3 已知x=2.6，求x的值.

解：x＝±2.6.

4．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.要比較幾個有理數(shù)的大小，只要把它們都表示在同一條數(shù)軸上，可以非常直觀地確定：從左到右，就是由小到大.

解：根據(jù)絕對值的意義及題設，在數(shù)軸上作出數(shù)a、b、c對應的點A、B、C，如圖4.

數(shù)x對應的點與A、B、C三點的距離之和不可能小于AC的長，僅當數(shù)x對應的點與B重合時，y取得最小值AC.

AC=c-a=c-a，即y最小值=c-a.

6．利用數(shù)軸解應用題

例7 某班有45名學生，參加語文競賽的有21人，參加數(shù)學競賽的有30人，兩科競賽都沒有參加的有6人，問兩科競賽都參加的有幾人？

解析：畫出數(shù)軸如圖5，AB表示該班的學生，EF表示參加語文競賽的學生，CD表示參加數(shù)學競賽的學生，CF表示兩科競賽都參加的學生，AE和BD表示兩科都沒有參加的學生.設兩科競賽都參加的學生有x人，則有：

6+21-x+x+30-x＝45，解得x＝12.

例8 父親是兒子現(xiàn)在年齡時，兒子已經(jīng)10歲，而當兒子是父親現(xiàn)在年齡時，父親將82歲，問父子兩人相差幾歲？

解析：如圖6所示，利用數(shù)軸來求解.設A、B兩點分別表示兒子和父親現(xiàn)在的年齡，并設兩人的年齡相差x歲.由于父子兩人相差的年齡不變，從而可將問題中的條件在數(shù)軸上表示出來，顯然從數(shù)軸上可以看出：3x+10＝82，解得：x＝24，即父子兩人相差24歲.