試析微積分中的哲學(xué)思想

摘 要：本文通過實(shí)例論述了微積分教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生哲學(xué)思想的嘗試。

關(guān)鍵詞：微積分 哲學(xué)思想 定積分

微積分中蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)思想，如“量變到質(zhì)變”、“對立統(tǒng)一規(guī)律”、“特殊存在于一般之中”等，在教學(xué)中注意對學(xué)生哲學(xué)思想的培養(yǎng)，不僅能夠使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，而且能夠增強(qiáng)學(xué)生的辯證思維能力。

1.積分概念中蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想

定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的產(chǎn)生是解決實(shí)際問題的需要，解決的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以勻代變的近似計(jì)算，③有限積累的求和，④極限轉(zhuǎn)化。比如定積分的概念是由求曲邊梯形的面積引出的，和式 f(ξ )Δx 表示n個矩形面積之和；當(dāng)時λ→0，f(ξ )Δx 則是曲邊梯形的面積。其中蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想有：

（1）從數(shù)學(xué)角度看，“分割取近似”是將精確值轉(zhuǎn)化為近似值，而從哲學(xué)角度來看，則是將“不會求面積”問題向“會求面積”問題的矛盾轉(zhuǎn)化。

（2）分割的窄曲邊梯形若是有限個，那么有限個相應(yīng)的矩形面積之和絕不等于有限個窄曲邊梯形面積之和，但當(dāng)時，即有無窮多個窄曲邊梯形時，無窮多個相應(yīng)的矩形面積之和就等于無窮多個窄曲邊梯形面積之和，即所求曲邊梯形的面積。揭示了從有限到無限的極限過程中使問題由量變達(dá)到了質(zhì)變的哲學(xué)規(guī)律。

（3）從有限到無限的轉(zhuǎn)化中，對立的兩個方面（有限個矩形面積之和與有限個窄曲邊梯形面積之和）得到了統(tǒng)一（曲邊梯形的面積），體現(xiàn)了對立統(tǒng)一規(guī)律。

其他積分概念也類似。通過從哲學(xué)角度進(jìn)行分析，學(xué)生更加深刻地理解了積分概念的實(shí)質(zhì)，積分來源于實(shí)際，反過來又運(yùn)用于實(shí)際，是人類智慧的結(jié)晶。

2．“特殊存在于一般之中”的哲學(xué)思想

定積分、重積分的應(yīng)用是積分概念的推廣，其中的哲學(xué)思想類同。在講授定積分的應(yīng)用——旋轉(zhuǎn)體的體積和二重積分的應(yīng)用——平面薄片的重心部分時，筆者引入例題，通過分析闡明了“特殊存在于一般之中”的哲學(xué)思想。

例1 求直線x=0、y=0、y=-x+2圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解法一：用中學(xué)知識：

來解決，也可以用微積分的知識解決。兩例題的解法一均是利用其特殊性用初等數(shù)學(xué)的方法解決的，例1中若旋轉(zhuǎn)的平面圖形是曲邊梯形，則初等數(shù)學(xué)的方法就無法解決；例2中的均勻薄片若是其它的不規(guī)則形，初等數(shù)學(xué)的方法同樣無法解決。解法二沒有考慮其特殊性，例1是用旋轉(zhuǎn)體的體積公式求得；例2是用平面薄片的重心公式求得，蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想是“特殊存在于一般之中”，即特殊問題可以用特殊方法去解決，也可以用一般方法去解決。從哲學(xué)意蘊(yùn)出發(fā)把中學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)有機(jī)的結(jié)合在一起，可使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識是螺旋式上升的，人們的認(rèn)知規(guī)律是由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜的。從而降低了大學(xué)一年級學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的難度，收到了事半功倍的教學(xué)效果。

結(jié)語

在微積分中蘊(yùn)涵著很多哲學(xué)思想，在教學(xué)過程中，除了從數(shù)學(xué)的角度講清楚數(shù)學(xué)的知識和方法外，還應(yīng)從哲學(xué)角度進(jìn)行適度的辯證剖析，使學(xué)生深刻地理解其實(shí)質(zhì)、把握其精髓，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法去分析問題和解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭永發(fā).數(shù)學(xué)概念中的哲學(xué)思想.青海大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.24.3:68-72.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”