淺談初中數學建模的教學及應用

數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，隨著數學教學的不斷深入，重視數學知識與現實生活的聯系，發展學生的數學應用意識和應用能力，已成為數學教育發展的趨勢. 數學建模將實際問題抽象轉化為數學模型，然后用數學方法求解模型，使問題得到解答，能夠幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識與實踐能力. 本文談談如何在應用題的教學中滲透數學建模的思想與思維過程.

解決這類問題體現在數學建模思維過程中，要根據所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使問題簡單化，且重要過程是根據題意建立函數#65380;方程(或方程組)#65380;不等式(組)等數學模型. 使學生明白:數學建

模過程就是通過觀察#65380;類比#65380;歸納#65380;分析等數學思想，構造新的數學模型來解決問題.

一#65380;構建函數關系求解

函數的產生是人類對現實世界認知的一次重大飛躍，它反映著量與量之間的依賴關系，是辯證法思想在數學上的體現. 所以函數反映了事物之間的廣泛聯系，它揭示了現實世界眾多的數量關系及運動規律. 現實生活中的許多問題，諸如計劃決策#65380;用料造價#65380;最佳投資#65380;最小成本#65380;方案最優化等問題，常可建立函數模型求解.

例1(2006年聊城市中考題)一家用電器開發公司研制出一種新型電子產品，每件的生產成本為l8元，按定價40元出售，每月可銷售20萬件，為了增加銷量，公司決定采取降價的辦法，經市場調研，每降價1元，月銷售量可增加2萬件.

(1) 求出月銷售量y(萬件)與銷售單價 x (元)之間的函數關系式(不必寫 x 的取值圍);

(2) 求出月銷售利潤 z(萬元)(利潤:售價 - 成本價)與銷售單價 x (元)之間的函數關系式(不必寫 x 的取值范圍);

(3)請你通過(2)中的函數關系式及其大致圖像幫助公司確定產品的銷售單價范圍，使月銷售利潤不低于480萬元.

將二次函數解析式變形為 z = - 2(x - 34)2 + 512，

畫出大致圖像如圖，由圖像可知，要使月銷售利潤不低于480萬元，產品的銷售單價應在30元到38元之間(即30 ≤ x ≤ 38).

二#65380;構建方程(組)求解

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等關系. “方程(組)”模型是研究現實世界數量關系的最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更準確#65380;清晰地認識#65380;描述和把握現實世界.如打折銷售#65380;分期付款#65380;增長率#65380;儲蓄利息#65380;工程問題#65380;行程問題#65380;濃度配比等問題，常可以抽象成方程(組)模型，通過列方程(組)得以解決.

例2(2007年沈陽市中考題)甲#65380;乙兩個施工隊共同完成某居民小區綠化改造工程，乙隊先單獨做2天后，再由兩隊合作10天就能完成全部工程. 已知乙隊單獨完成此項工程所需天數是甲隊單獨完成此項工程所需天數的 ，求甲#65380;乙兩個施工隊單獨完成此項工程各需多少天?

解設甲施工隊單獨完成此項工程需 x 天，

則乙施工隊單獨完成此項工程需45x天，

根據題意，得+ = 1，

解這個方程，得 x = 25.

經檢驗，x = 25是所列方程的根.

當x = 25時， x = 20 .

答:甲#65380;乙兩個施工隊單獨完成此項工程分別需25天和20天.

三#65380;構建不等式(組)求解

現實生活中同樣也廣泛存在著數量之間的不等關系. 諸如市場營銷#65380;生產決策#65380;統籌安排#65380;核定價格范圍等問題，可以通過給出的一些數據進行分析，將實際問題轉化成相應的不等式(組)問題，利用不等式的有關性質加以解決.

例3(2006年青島市中考題)“五一”黃金周期間，某學校計劃組織385名師生租車旅游，現知道出租公司有42座和60座兩種客車，42座客車的租金每輛為320元，60座客車的租金每輛為460元.

(1) 若學校單獨租用這兩種車輛各需多少錢?

(2) 若學校同時租用兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且要比單獨利用一種車輛節省租金. 請你幫助該學校選擇一種最節省的租車方案.

故當租用42座客車5輛，60座客車3輛時，租金最少.

數學建模能力的培養不在于某堂課或某幾堂課，而應貫穿于學生的整個學習過程，并激發學生的潛能，使他們能在學習數學的過程中自覺地去尋找解決問題的一般方法，真正提高數學能力與學習數學的能力. 數學應用與數學建模，其目的不是為了擴充學的課外知識，也不是為解決幾個具體問題進行操作，而是要通過教師培養學生的意識，教會學生方法，讓學生自己去探索#65380;研究#65380;創新，從而提高學生解決問題的能力，讓數學進入生活，讓生活走進數學.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”