高職高等數學教學案例：Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的教學

摘要：針對高職學生的特點，應用最近發展區教學理論，分析數學知識之間的聯系，創設數學教學情境，探討開發學生思維的教學模式，提高課堂教學的效果。

關鍵詞：最近發展區理論；教學模式；教學效果

就教學與發展問題，維果斯基提出了著名的“最近發展區理論”。維果斯基認為，學生的發展可以區分為兩種水平，第一種水平是現有的發展水平，由已經完成的發展順序的結果而形成，表現為學生憑借自己的能力獨立地解決智力任務。第二種水平表現為學生還不能獨立地解決某些問題，但是在外界的幫助下可以解決這些問題。學生獨立解決問題時的實際水平（第一發展水平）與教師指導下解決問題時的潛在水平（第二發展水平）之間的距離，就是“最近發展區”。

學生的第一發展水平與第二發展水平之間的狀態是由教學決定的，即教學可以創造最近發展區。因此，好的教學絕不應消極地適應學生智力發展的現有水平，而應該走在發展的前面，把學生的智力從一個水平引導到另一個更高水平。

最近發展區理論實際上對什么內容應該由學生先學、什么內容應該由教師后教做出了明確的劃分。顯然，如果學生要學習的內容在他們的已有發展區（或現在發展區）之內，就應該讓學生通過自學來解決；如果要學習的內容落在最近發展區之內，就需要教師的指導或講授。這樣才能最大限度地培養學生的自主學習能力。傳統教學一般遵循先教后學的順序，學生在聽取教師講解的基礎上再學習和練習。這種教學的一個明顯缺點是對學生的已有發展區和最近發展區不作區分或區分得不好。我們認為，造成這種結果的一個重要原因是教師沒有掌握劃分“兩區”的具體技術。

維果斯基對現在發展水平和最近發展區的解釋是抽象的，并沒有對如何確定兩個發展區作明確回答。要徹底解決這個問題，在“已有發展區”和“最近發展區”的理論上必須有所突破。我們要從具體意義上來理解學生“已有發展區”和“最近發展區”。為了確定學生的兩個“發展區”，教師可使用任務分析技術和自學檢查法。任務分析是指在開始教學之前，對教學目標中所規定的、需要學習得到的知識或技能構成成分及其層次關系詳加分析，為學習順序的安排和教學條件的創設提供心理學依據。任務分析的基礎是知識分類及其層次理論，其內容是確定學生的起點能力、分析學習的先決條件以及支持性條件等。學生的認知發展水平是一個由低級到高級、由簡單到復雜的漸進過程，因而我們的教學也必須符合這一發展過程。自學檢查是指讓學生在教師正式授課之前自學，檢查學生自學的情況，然后再確定教學的起點。相比之下，任務分析法對學生“兩個發展區”的區分可能更準確一些，也更有利于發揮學生自學的潛能。

結合高等數學的拉格郎日（Lagrange）中值定理教學，在關于“最近發展區”的理論問題上，探索如何發揮學生自主學習的積極性，筆者有如下一些體會：

在講完羅爾（Rolle）中值定理之后，接著就講拉格郎日（Lagrange）中值定理。拉格郎日（Lagrange）中值定理的證明就使用了羅爾（Rolle）中值定理。教材關于拉格郎日（Lagrange）中值定理的敘述和證明是這樣的：

拉格郎日（Lagrange）中值定律：若函數f（x）滿足條件

1.在閉區間[a，b]上連續；

2.在開區間（a，b）上可導；

則在區間（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′（x₀）-[f(b)-f(a)]/(b-a)＝0或f（b）-f（a）＝f′（x₀）（b-a）

證明：如圖1所示。

圖1

設輔助函數F（x）＝f（x）-[f(b)-f(a)]/(b-a)·x，x∈[a，b]

顯然F（x）在x∈[a，b]上滿足羅爾定理的條件：F（a）＝F（b）

于是存在x∈[a，b]，使F′（x）＝f′（x）-f（x）-[f(b)-f(a)]/(b-a)＝0

有f′（x）＝f（x）-[f(b)-f(a)]/(b-a)證畢

如果教師按這樣的順序進行教學處理，學生必然會有許多疑問：為什么要構造這樣一個函數F（x）＝f（x）-f（x）-[f(b)-f(a)]/(b-a)·x，x∈[a，b]？怎樣想到構造這樣的一個函數？………

對于高職學生來說，構造這樣一個函數就猶如一道知識的鴻溝。如何才能幫助學生跨越這一鴻溝？教師的作用就凸顯在這里了。

筆者認為，在講授拉格郎日（Lagrange）中值定理的證明之前可先講以下幾個例子做些鋪墊：

例1.已知拋物線y＝x²+ax+2，（a∈R）與坐標軸X軸有兩個不同的交點。求a的取值范圍。（如圖2所示）

圖2

例2.已知點A（1，0），B（3，0），若拋物線y＝x²+ax+2，（a∈R）與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍。（如圖3所示）

圖3

例3.已知點A（1，1），B（3，1），若拋物線y＝x²+ax+2，（a∈R）與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍。（如圖4所示）

圖4

例4.已知點A（1，1）、B（3，3），若拋物線y＝x²+ax+2，（a∈R），與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍。（如圖5所示）

圖5

看了此例題之后，學生或許會注意到相鄰兩個例題的函數區別那么小，但其結果卻是相差甚遠，原因就是例1是求解例2的基礎。同理，例2又是求解例3的基礎，例3是求解例4的基礎。如果沒有例2這個環節，直接讓學生完成例3和例4，則學生會有“一步登天”的感覺。按照例1——例2——例3——例4的順序教學，完全符合學生的認知規律。因為例2的“問題解決能力”是例1的“潛在發展水平”，而例3、例4則是例2、例3的“潛在發展水平”。其間的“最近發展區”在他人的幫助下是完全可以順利過渡的。筆者在教學實踐中體會到，在講拉格郎日（Lagrange）中值定理的證明前，若把這四個例子作為鋪墊，那么拉格郎日（Lagrange）中值定理的證明也就在學生的“潛在發展區”之內了，教學效率也會有所提高。同時，“最近發展區”理論下的數學學習是學生思維從潛在水平開始的，在這里，學生已有知識能力不足以解決所面臨的問題，從而激起學生認知上的不平衡，看到自己已有知識的局限，激發他們固有的好奇心，于是能主動地帶著問題去學習、研究和探索，去尋求解決問題的辦法，并力求在教師幫助下，在集體活動中，通過自己努力，使問題得以解決，達到新的、更高水平上的平衡。

拉格郎日中值定理是微分中值定理中的一個重要內容。它既是羅爾定理的推廣，又是柯西定理的基礎。就知識體系來說，拉格郎日中值定理在此起著橋梁和紐帶的作用。就應用范圍來說，拉格郎日中值定理在研究函數應用中有較大的空間。所以，學生學好拉格郎日中值定理，既有利于加深對羅爾定理的理解，又為學習柯西定理打下基礎，還有利于后續學習。

總之，通過這樣的一個教學鋪墊，既加深了知識理解，又活躍了學生思維，同時還培養了學生的探索精神，學生在拉格郎日中值定理方面的解題能力得到了進一步提高。

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作者簡介：

熊慶如（1964—），江西宜豐人，碩士，浙江省東方職業技術學院講師。