加法和減法互為逆運算嗎？

數學講究嚴謹，因此教師課堂上所說的每一句話都不能犯知識性的錯誤，不少教師在教學中都想當然地認為，既然“減法是加法的逆運算”，那么“加法也一定是減法的逆運算”，甚至認為“加法與減法互為逆運算”。但是，大多數初等數學理論書籍中都只說“減法是加法的逆運算”，而對“加法是不是減法的逆運算”和“加法與減法是不是互為逆運算”則閉口不談，小學數學教科書與教學參考書也是這樣處理的，另外查閱了許多資料也是如此。其實，要說清楚這個問題，首先要對“運算”和“逆運算”進行定義，弄清楚“逆運算”的內涵。

一般來說，運算都指代數運算，它是集合中的一種對應。對于集合A中的有序元素對a、6，有集合A中唯一確定的第三個元素c與它們對應，叫做集合A中定義了一種“運算”。由這個運算可以得出兩個運算，就是把a、6中的一個當作所求的，而把c當作已知的，這樣得出的運算叫做原來運算的“逆運算”。它的第一個逆運算是：對于元素對c、6，使元素“與它們對應；它的第二個逆運算是：對于元素對ca，使元素6與它們對應。如果一個運算滿足交換律，即這個運算對于任意一對元素a、b或b、a，永遠得到同一結果，那么這個運算的兩個逆運算是一致的。也就是說，存這種情況下，這個運算有唯一的“逆運算”。

例如，對于整數集來說，任意兩個整數的加法運算滿足加法交換律，所以加法有唯一的逆運算——減法。又如，任意兩個整數的乘法運算滿足乘法交換律，所以乘法有唯一的逆運算——除法。

但是，每一個運算并不都有逆運算。例如，在自然數集合中，定義了自然數的加法，而它的逆運算——減法，對于任意兩個自然數a、b，并不是總能施行的：例如2+3=5，已知5、3或已知5、2，都可以用減法來求另一個加數，這時我們就可以說“減法是加法的逆運算”。又如5-3=2，已知5、2或已知3、2，這時不能都用同一種，運算(加法)求另一個數，所以加法不是減法的逆運算。即使認為減法運算有兩種不同的“逆運算”——加法運算和減法運算，就說“減法的逆運算是加法”、“加法和減法互為逆運算”是不對的，甚至只說“加法是減法的逆運算”也是不妥當的。如果要說，就應該說成“加法是減法的逆運算之一”。如同“除法是乘法的逆運算，而乘法不是除法的逆運算”一樣，道理亦然。

同時，還有教師從辯證唯物主義角度出發，認為加法和減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算是對的。兩個相互對立的事物，在一定的條件下可以相互轉化，兩種對立的運算，在一定條件下也可以相互轉化。正運算和逆運算是對立的雙方，是現實世界中正與逆的矛盾在數學中的反映，因此它們相互依存、不可分割，并在一定的條件下相互轉化。數的加法和減法、乘法和除法互為逆運算，都可以相互轉化。加法可以轉化成減法，反之亦然。另外，加法和減法在轉化的前提下統一起來了，形成了代數和的概念。可見，沒有轉化，就沒有統一。同時，筆者認為小學數學也不必講得那么深奧，簡單點就可以了。但數學更應講究其科學性和嚴謹性，不能因為我們暫時說不清楚就遷就使然，草草了事

以上觀點，提出并與同行商榷，希望有更多、更準確的意見。