對資產負債率指標的動態數學分析

［摘 要］ 本文通過建立數學模型，具體分析資產負債率指標及內含關聯項目因素的各種變化狀況及趨勢。包括：舉債使企業資產負債率值增大并無限趨近于1；資產負債率不同而增加等額借款對資產負債率影響大小及變化趨勢分析，資產負債率相同但彼此資產或負債總量不等增加等額借款時，資產負債率的變化的動態比較分析等，并得出相應結論。

［關鍵詞］ 資產負債率；數學模型；動態數學分析

［中圖分類號］F275；F224.0［文獻標識碼］A［文章編號］1673-0194（2007）12-0055-03

評價一個企業的償債能力和財務風險，不能僅靜態地觀察企業某一時點的資產與負債總額。資產負債率作為一個靜態的考核指標，有其一定的局限性。隨著企業債務籌資和運用商業信用的數額變化，資產負債率指標也在根據企業自身的不同基礎條件發生著不同的速率變化。通過數學分析可以動態地揭示企業的財務風險變化值，使債權人對債務人在形成債權債務關系前后的財務風險值進行對比，以有效地控制風險，保證資金清償的可靠性。

下面通過建立數學模型，具體分析資產負債率指標的各種變化情況及趨勢。

一、舉債使企業資產負債率值增大，并無限趨近于1

企業的舉債行為包括：發行債券、融資租賃、運用商業信用、銀行信貸等方面。本文為了論述簡單，僅以銀行借款為例，分析資產負債率的變化。

資產負債率=負債總額/資產總額。由于正常情況下，負債＜ 資產，我們就在這一前提下展開分析。假定負債為a，資產為b（a < b），假設企業通過向銀行舉債增加資金總量為x，則其會計分錄為：

借：銀行存款x

貸：長（短）期借款 x

這時，資產負債率=（a + x） / （b + x）

（a + x） / （b + x）－a / b=（ab+ bx－ ab－ ax）/b(b+ x)=(b－ a) x / b(b+ x)

已知a < b

∴（b - a）x / b（b + x）> 0，即（a + x） / （b + x）－a / b> 0

結論：舉債一定會使企業資產負債率提高。

例如：某企業原資產負債率為50%，原有資產總額為100萬元，現在向銀行借款50萬元。其資產負債率變化為：

資產負債率=（50 + 50） / （100 + 50） = 66.7%

資產負債率比原來增加（66.7%-50%）16.7個百分點。

我們容易看出增加借款會使資產負債率值增大，那么增加不同的借款額度對資產負債的影響又是怎樣的呢？這里將資產負債率表示為借款的函數： f （x）=（a+ x） / （b+ x）。可以采用兩種方法研究 f （x）的單調性問題。

1. 根據函數單調性的判別方法，若d f （x） / dx > 0，則

f （x）為增函數，反之則為減函數。

d f （x） / dx=（b－ a） / （b+ x）2 ＞ 0，所以 f （x）為增函數。實際意義為：向銀行借款數額越大，其資產負債率的增幅越大。

例如：甲企業原資產負債率為60%，原有資產總額為100萬元，欲向銀行借款10萬元或20萬元。求資產負債率各為多少？哪個更大？

A情況：借款10萬元，資產負債率=（60+10）/（100+10）=63.6%

資產負債率比原來增加（63.6%-60%）3.6個百分點；

B情況：借款20萬元，資產負債率=（60+20）/（100+20）=66.7%

資產負債率比原來增加（66.7%-60%）6.7個百分點。

顯然，借款20萬元后的資產負債率增幅大于借款10萬元后的資產負債率增幅。

結論：借款數額越大，其資產負債率的增幅越大。

2. 可以用更簡單的作差方法分析。

設借款金額x2 ＞ x1

結論：隨著借款金額增大，資產負債率無限趨近于1（見圖1）。

二、資產負債率不同而增加等額借款，對資產負債率影響大小及變化趨勢分析

我們先看一個例子：A企業資產負債率為40%，B企業資產負債率為60%，兩家企業資產總額均為100萬元，二者同時各向銀行借款10萬元。求其資產負債率變化幅度為多少？哪個更大？

A企業：資產負債率=（40+10）/（100+10）=45.5%

資產負債率比原來增加（45.5%-40%）5.5個百分點。

資產負債率的變化率=（45.5%－40%）/40%=0.137 5

B企業：資產負債率=（60+10）/（100+10）=63.6%

資產負債率比原來增加（63. 6%－60%）3.6個百分點。

資產負債率的變化率=（63. 6%－60%）/60%=0.060 6

∴A的增長幅度＞B的增長幅度。

結論：增加等額借款，原資產負債率較小的變化幅度較大；原資產負債率較大的變化幅度相對較小。

這里我們進一步借助數學模型進行討論分析。

假設A企業的負債為a1，B企業的資產負債率為a2，這里假設a1 < a2，這兩個企業的資產都為 b，

結論：增加等額借款后，原資產負債率小的企業資產負債率的增長變化幅度大于原資產負債率大的企業資產負債率的增長變化幅度（見圖2）。

三、資產負債率相同但彼此資產或負債總量不等，增加等額借款時資產負債率的變化分析

假設A企業資產負債率為a / b， B企業資產負債率為a1 / b1，且a / b= a1 / b1，a < a1，b < b1。

采用作差法。（a1+ x） /（b1+ x）-（a+ x） /（b+ x） = x（a1-b1+b-a）/ [（b1+ x）（b+ x）]

由已知條件易證：a1 - b1 + b - a < 0

所以上式< 0

結論：資產負債率相同、增加等額借款時，資產額較小的，資產負債率受影響幅度較大；資產額較大的，資產負債率受影響幅度較小（見圖3）。

主要參考文獻

［1］ 于小鐳，徐興恩． 新企業會計準則實務講解［M］. 北京：機械工業出版社， 2007．

［2］ 華東師范大學數學系. 高等數學［M］. 北京:高等教育出版社，2001．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”