我們，要教給學生什么？

以數學教材為主要依據組織教學內容進行課堂教學，是廣大一線數學教師每天都必須面對的教育事實。這一事實的背后。教師個體究竟以怎樣的方式傳達著怎樣的學習任務呢?我們，要教給學生什么?怎樣才能使我們用教材的過程更具有數學課程意識呢?這些都涉及關于提高數學課程實施品質的問題核心。能否對這些問題有準確的認識，也將直接影響我們對課程具體內容實施方式的確認。筆者帶著這些思考。邊觀察邊實踐，最終形成了下面的一些文字內容。

照著講：遵循精神與意圖

照著講，指根據學生的認知現實及特點，參照數學課程標準的精神和數學教材的編寫意圖并體現數學知識的內涵組織教學，而非單純地照搬教材、照本宣科。就當前而言，我們應當給予教材使用更多的關注。從某種程度上講，如何用教材決定了課程實施品質的高低。在多種教學場合中，直接照著教材文本內容開展數學教學活動或以教材的建設者自居隨意更改教學內容的事例，屢見不鮮。

案例：“解方程”如何解?

師：解方程X-2/9=7/9，第一步x=7/9+2/9是怎么想到的?

生1：到了右邊，就反過來寫，減變加，加變減。

師：x-2/9=7/9，方程左邊有幾個數?

生1：兩個。

師：為什么解方程第一步后左邊只剩下一個數呢?

生1：不知道。

師：你知道嗎?

生2(笑了笑)：不知道。

師：你們覺得右邊的2/9是原來方程左邊的2/9嗎?

生：是的。(兩個人都這么認為)

師：……

反思：

教師也有“教學化”的處理，怎么就沒能引起學生“學習化”的接納?

解讀、演繹教材文本內容，凸現數學內涵，需要有純數學的學術形態轉化為學生易接受的教育形態，靜態的文本信息轉化為動態的生成信息的過程。但現在看來。教師個人的“教學化”處理并非都能帶來學生“學習化”的接納，有時可能會令學生陷入“模仿”的泥潭，沒有了也不需要有自己的領會與思考。上述案例中“教學化”的處理。沒有深入地揭示隱藏在“解方程”這一具體數學知識背后的思維方法，從而導致學生對“消去法”缺乏認識與理解，注定只能低層次地模仿教師做題、解題。如果教師反復強調“為了使方程左邊只剩下x，方程左邊需要怎樣處理?根據等式的性質，方程右邊也需要怎樣?也就是說，要消去方程左邊的2/9，方程的左右兩邊應同時怎樣”，學生就會對“反過來。減變加，加變減”作出個人的數學理解了。當然，也有“教學化”的處理會對學生的“學習化”產生很好的接納功效。成功的例子也比較多，這里就不加贅述。

一言以蔽之?！罢罩v”就是使數學課程的實施根植于學生的認知土壤，并體現數學學科的原本味。

接著講：關注意義與現實

接著講。意指在學生可接受的情況下就某些知識點在學科深度方面進行一些適當的拓展，使學生能深入內部、近距離地體悟數學的內涵及思想所在，比如將隱性知識一定程度地進行外顯等。這里的“深度”不是對知識本身一味地拔高，而是指學生不僅能掌握具體的數學知識，而且也能領會內在的思想方法。尤其是對高年級的學生，這樣做可能會使他們在小學與初中數學思維方式的銜接上尋得一定的平衡。

比如，蘇教版第12冊數學教材第54頁有這樣的一題：“兩個底面半徑相等的圓柱，第一個圓柱的高是第二個圓柱的高的4/5，第二個圓柱的體積是60立方分米，第一個圓柱的體積是多少?”筆者教學時，學生用假設法解答后，有學生竟然列出了“60x4/5=48(立方分米)”。在質疑過程中，我發現有一半的學生在看到該同學列的算式后認為，在底面積相等的情況下，既然第一個圓柱的高是第二個圓柱的高的4/5，那么第一個圓柱的體積就應該是第二個圓柱的體積的4/5。看來，學生在潛意識中有這樣想當然的“理解”，或許這就是專家所說的“隱性知識”。對于部分毫無這種理解的學生，是不是就直接以結論的形式告訴他們，讓他們記住就行了呢?筆者以為，應多給學生以數學理解，而非結論的記憶。出于這樣的想法，筆者產生了就此題上出一節“深度”課的大膽想法。為了增加內容選擇的可信度，我特地對鄰近兩個班的學生進行了該問題的調查和了解。結果發現，至少有一半的學生認為“應該是這樣的”。獲得一線學習的真實狀態后，我開始投入到了教學設計和試教的活動準備中。

教學簡錄：

一、初步探究

1.復習成正比例的量中的等比。

出示題目：觀察下列表格，回答問題。

(圓柱底面積相等)

提問：通過觀察，你有什么發現?

生：圓柱體積與高的比值都是3.14。

師：我們看一下，是不是這么回事?

(生口算，6.28÷2=3.14，9.42÷3=3.14，31.4÷10=3.14，接下去也是3.14)

師：比值3.14表示什么?這表明底面積相等的圓柱的體積和高有怎樣的關系?

生：成正比例關系。

2.探討新的“等比”。

(1)追問：當底面積相等的圓柱的體積與高成正比例的時候，除了圓柱體積和高的比是相等的，你還能發現有哪些比也是相等的?(板書課題：成正比例的量——等比)

師：比如…(6.28/9042=2/3，31.4/9.42=3/10，6.28/31.4=2/10，……)

師：你發現了什么? 生：它們的體積比等于高的比。

師：是不是底面積相等的任意兩個圓柱，都有這樣的特點呢?

生：有!

師：這么肯定?這需要舉較多的例子才能說明結論的正確性。在數學上，除了舉例說明之外，我們還可以借助公式的推導來證明它對或不對。

講解并板書：

師：通過證明，我們發現……(體積和高成正比例，“體積比等于高的比”)大家思考一下，這與u/h=u/h有聯系嗎?(交換內項h和u的位置，就有u/u=h/h)

(2)提問：如果高一定，體積比與底面積的比是否也相等呢?

學生小組交流。然后全班匯報(或公式推導，或交換內項理解)。

形成板書：

(3)誰能用自己的話把我們的發現概括一下。(同桌互說，全班交流)

3.想一想。(略)

二、推廣研究

1.(1)對照板書，提問：我們是不是可以推廣開去說，在一定條件下，只要兩個量成正比例，都有類似于圓柱這樣的特點呢?

(2)學生試說與三角形相關的等比。(教師配合學生完成公式推導)

(3)學生繼續補充，教師有選擇地板書：

寬一定，長方形的面積比就是長的比。

時間一定，工作效率的比等于工作總量的比。

時間一定，速度比等于路程比。

2.練一練。(略)

三、探討總結及成果運用(略)

教學反思：

“接著講”要考慮哪些問題?從哪里“接”起，又“接”向哪里講呢?

眾所周知。不可能教材有什么我們就教什么，我們也不可能想到什么就“接著教”，必須顧及學生的認知發展現實。筆者認為，從基礎理解開始接、從隱性認知處開始接不失為明智之舉。但至少要受到兩方面的制約：一是必須依據數學課程標準的精神，即以課程目標為邊界；二是要充分考慮現實條件，尤其要顧及學校、教師、學生的具體因素。比如，考慮學生的主體性和差異性等等。上文中記錄的教學嘗試。就是在摸清學生學習需求后盡可能低起點地帶領更多的學生走進數學世界的探索之旅。以觀察表格中的數據為平臺。由不完全歸納法上升至公式推導的嚴格證明，引領學生經歷和體驗數學的邏輯證明。交換內項位置的必要講解，有利于知識問的緊密聯系。練習部分，學生進行大范嗣正遷移的“推斷”，從立體圖形拓展到平面圖形，再延伸至常見的數量，豐富了學生的認知背景。從而使得學生的內隱知識得以外顯和生長。毋庸質疑，應朝著促進學生數學思維發展這一教育目標去“接”。

通著講：盡顯聯系與區別

如果“接著講”是就知識點作縱向挖掘和拓展，尋求更深的背景理解以幫助學生達到“真懂”或“徹悟”的話，那“通著講”就是指找到這些知識點之所以成為單元、主題的共同點。進行有聯系和區別的橫向交流、組織和發展，試圖建立起知識板塊或知識群。工作以來，筆者曾不止一次地想過這樣的一個問題，同軌班級的數學教師都是按照教材內容的編排順序一節課一節課實施下來的，為什么最終的教學質量及學生素養卻大有不同呢?經過近兩次畢業班的教學，我的認識也逐漸變得清晰起來。

案例：誰占誰的幾(百)分之幾

問題一：一個糧食庫原有大米1500袋，運走3/5，還剩多少袋?

問題二：某廠有一天上班職工數是108人，出勤率是90％。求該廠的職工總數。

第一題中，學生對第二解法“1500×(1-3/5)”似乎總是難以接納，難以清楚地說出道理。第二題中，部分學生對用出勤人數除以還是乘出勤率，總是混淆弄錯。記得自己曾經對照實際出勤人數/應出勤人數=出勤率，借助除法之間的關系來讓學生理解，即實際出勤人數=應出勤人數×出勤率，應出勤人數=實際出勤人數÷出勤率。雖然后來學生也都能熟練準確地解答，但那是較多次的練習之后形成的一種解題能力，這有別于在內在理解基礎上自然生發的解題。可見，以往課程內容的組織是只見樹木，不見森林，忽視了知識間的內在聯系。這一次教六年級時。我特別注意到借助數量關系轉化理解成“誰占誰的幾(百)分之幾”，并與分數乘法應用題的例題“一根電線長20米，用去4/5，用去多少米?”對照理解。最終，絕大多數的學生都能夠輕松地理解并說出想法，正確率較往年也有大幅度的上升。

反思：

為什么要“通著講”?

在教學中，我們極其容易犯一種錯誤，即只盯著一兩節課怎么上，而于一個學期的教學內容的內在聯系則并不關注。最終，由一節節數學課拼湊而成的學期教學，怎能不知識零碎、混亂不堪?學生怎能不疲憊應付、不知所措呢?而基本數學思維方法的訓練又需滲透在具體的數學基本知識和基本技能之中。離開具體數學知識的學習去空談數學素養和數學精神的形成只能是水中撈月。試想，不通著講，“醉漢拉車，越拉越少”恐怕就不只是一句戲言了。

通向哪里去講?

布魯納提出：“學習不但應該把我們帶往某處。而且還應該讓我們日后在繼續前進時更容易。”文化素養、數學精神更多是內隱的，決不是多講幾個故事、多做幾道應用題就能夠埋下種子發芽成長的，而應集中于如何更好地發揮數學的文化價值，特別是通過具體數學知識的學習幫助學生逐步形成一定的思維方式與價值取向，直至科學的世界觀和人生觀。同時，“通著講”也有利于我們課程意識和大教學觀的確立。無論怎么個通法，根本的也是必須堅守的是都要教給學生學會數學地觀察和思維。這是課程品質提升的硬指標。

怎樣“通著講”?

回答了上述兩個問題，就知道了“通著講”的起點和終點，至于怎么個“通”法，也就易于回答和實施了。

首先，要加強知識點之間的聯系。我們需要整體把握數學課程的目標與內容，既要清楚每個章節的知識點，也要梳理好各章節之間的邏輯關系，理清一學期課程在整個學段中的地位與價值，確保學生所學環環相扣、活水不斷。

其次，要與初中代數的思想相通。如果對數學學科的本質和長遠目標沒有很好的理解、把握，所教的學生必然不會走得太遠。每年從初中數學教師那里反饋來的信息就表明，有不少在小學階段學得認真、成績也好的學生進入初中后會紛紛落馬。是學生沒有后勁兒嗎?不是，這多少與小學數學教師對基礎知識的組織方式有很大的關聯。高年級的小學生思維水平已達到一定的程度，極有必要向初中數學的代數思想過渡，讓他們的數學學習變得深刻些、有內涵些。不能總是規范動作和提高速度——原地踏步走!

最后。要對照性地使用新舊教材。當務之急。我們需要吸收舊教材教學中積累的寶貴經驗，比較新舊教材內容的根本變化，吃透各自的優缺點，確保當前數學課程實施品質的提高。只有通過深入地比較與研究，我們才能真正地實現課程內容的優化，我們的教學過程才能務實、有效!

對于更多的教師而言，課堂教學中究竟怎樣“講”才有助于學生認知的形成、完善和發展呢?這涉及什么情況下“照著講”，什么情況下“接著講”和“通著講”。多數時候，在沒有找到勝于教材安排的思路的狀況下，大體思路還得“照著講”。但要力求貼近學生的經驗世界無痕跡地“巧”處理：在尋求到更高的整體處理或局部改良的情況下就可以“接著講”；至于“通著講”，那是時時刻刻都需要考慮的。當然，這不僅需要我們能夠艱苦地思考和創造性地詮釋教材的意圖與學生學習的現實。還需要多考慮學生數學學習的可理解性和潛在價值，更需要教師能夠統領身邊已有的、現有的和將要的學習資源，盡顯聯系與區別，使學生融會貫通、優化認知結構。