教學(xué)需要留“痕”

案例透視：三角形的面積計(jì)算教學(xué)“過(guò)程缺失”

為了考查過(guò)程性目標(biāo)的落實(shí)情況。我們編擬了如下一道關(guān)于三角形面積計(jì)算的簡(jiǎn)單問(wèn)題：

一個(gè)三角形的底是6厘米，面積是24平方厘米。它的高是多少厘米?

檢測(cè)中，我們發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)一部分學(xué)生無(wú)法順利且正確地解決該問(wèn)題，要么列式為“24÷6”，要么列式為“24÷2÷6”。據(jù)教者反映，他在教學(xué)三角形面積計(jì)算時(shí)曾經(jīng)多次組織類似練習(xí)，但依然有部分學(xué)生不能掌握正確的方法。對(duì)此，筆者以為，這主要是學(xué)生在提取需要逆向思考的三角形面積計(jì)算方法時(shí)存在著困難或出現(xiàn)了錯(cuò)誤。像這樣的例子不勝枚舉。這就從一個(gè)側(cè)面反映了當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)仍然存在“過(guò)程缺失”的問(wèn)題。

冷靜思考：課堂教學(xué)“過(guò)程缺失”的形態(tài)及其危害

應(yīng)當(dāng)承認(rèn)。目前多數(shù)教師已經(jīng)清晰地認(rèn)識(shí)到，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主探究、主動(dòng)建構(gòu)，親身經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程。但是。他們比較熟悉或者能夠把握的仍然是“看得見(jiàn)、摸得著”的知識(shí)技能目標(biāo)。例如讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種運(yùn)算，能解一類方程，知道一個(gè)性質(zhì)，而對(duì)于需要學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)的過(guò)程性目標(biāo)，則普遍感覺(jué)有點(diǎn)摸不著邊際，認(rèn)為學(xué)生什么“實(shí)質(zhì)性”的東西也沒(méi)有學(xué)到。

在這種思想的左右下，不少教師弱化、壓縮甚至削減了知識(shí)形成的過(guò)程。大抵有這樣3種表現(xiàn)：

其一，表現(xiàn)為過(guò)程被削減。課中。教師對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理的教學(xué)通常三言兩語(yǔ)一筆帶過(guò)，或者為學(xué)生規(guī)定詳細(xì)的解題程序，然后通過(guò)大量的模仿練習(xí)和強(qiáng)化訓(xùn)練，促使學(xué)生快速地熟悉相關(guān)的知識(shí)與技能，而本應(yīng)引起高度重視的知識(shí)形成過(guò)程被忽略了。

其二，表現(xiàn)為過(guò)程表面化。在這樣的課堂上，“過(guò)程”由教師直接講授或演示，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由原先的“聽(tīng)結(jié)果”、“看結(jié)果”變成了現(xiàn)在的“聽(tīng)過(guò)程”、“看過(guò)程”，“過(guò)程”在這里僅僅停留于字面意義而已。關(guān)注知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)目標(biāo)貌合神離!

其三。表現(xiàn)為過(guò)程不到位。可以說(shuō)，時(shí)下教師已經(jīng)開(kāi)始注意引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自主建構(gòu)知識(shí)、訓(xùn)練技能，但又經(jīng)常忽視引導(dǎo)學(xué)生積累必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)和技能背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

眾所周知，數(shù)學(xué)教材承載的是數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系，而諸如數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象過(guò)程、數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過(guò)程等內(nèi)容則基本上被掩蓋或省略了。如果我們僅是照本宣科，不向?qū)W生充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，不引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的與知識(shí)內(nèi)涵、外延密切相關(guān)的信息量就會(huì)被大大削減，從而出現(xiàn)知覺(jué)不準(zhǔn)、分類不清、聯(lián)系貧乏、記憶痕跡模糊等問(wèn)題，致使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)遭遇困難。要知道，不讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，事實(shí)上是剝奪了學(xué)生親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的機(jī)會(huì)。其結(jié)果必然會(huì)大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量。影響學(xué)生理解知識(shí)的深刻程度和洞察學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的敏銳程度。所以，“過(guò)程缺失”的課堂，從表面上看可能單位時(shí)間內(nèi)的教學(xué)容量變大了，練習(xí)的密度也變高了，實(shí)際教學(xué)效果卻常常不夠理想。

實(shí)踐策略：著力提高知識(shí)形成過(guò)程的質(zhì)量

實(shí)踐證明，要想提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。使他們能夠有效地記憶和順利地提取數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，必須讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間去親身經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，明晰知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的線索，獲得數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因而。教學(xué)中我們要認(rèn)真分析和還原數(shù)學(xué)知識(shí)的原發(fā)現(xiàn)過(guò)程與學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。并使這兩個(gè)過(guò)程協(xié)調(diào)同步作用，避免數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表面化現(xiàn)象。

一、聯(lián)系具體情境。豐富背景性經(jīng)驗(yàn)

心理學(xué)研究表明。學(xué)生通過(guò)對(duì)客體的活動(dòng)建立起對(duì)情境的處理方式。是知識(shí)學(xué)習(xí)、技能形成的最根本基礎(chǔ)。同時(shí)。學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶，是從開(kāi)始較多依賴于情境逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)檎Z(yǔ)義記憶的，且信息編碼的方式對(duì)信息的提取具有很大影響。實(shí)踐中，我們也發(fā)現(xiàn)失去豐富而具體的情境依托，知識(shí)的記憶就會(huì)變成對(duì)字面定義的死記硬背。知識(shí)的回憶和應(yīng)用也必然會(huì)產(chǎn)生困難。反之，數(shù)學(xué)知識(shí)一旦獲得具體情境的支持，就會(huì)變得直觀易懂，使人更易于洞察其本質(zhì)。

從這個(gè)意義上說(shuō)，教學(xué)中我們應(yīng)該為學(xué)生提供必需的知識(shí)背景以及與該知識(shí)密切相關(guān)的具體情境，并利用背景的關(guān)聯(lián)性、一致性和情境的生動(dòng)性、具體性，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極參與知識(shí)的形成過(guò)程，獲得豐富的背景性經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而在自主探究和主動(dòng)建構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行有意義的記憶與理解。這里，我們以三角形面積計(jì)算教學(xué)為例作些說(shuō)明：通過(guò)創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生親自動(dòng)手剪貼、拼接三角形，將三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的平行四邊形的情境，使各個(gè)操作步驟及其數(shù)學(xué)含義明確、細(xì)致地展示出來(lái)。這樣，可以讓具體的操作情境成為這一知識(shí)認(rèn)知圖式中的重要成分，有利于學(xué)生更好地回憶三角形面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程，促進(jìn)與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題順利解決。所以，對(duì)知識(shí)的記憶，教學(xué)中應(yīng)該努力讓學(xué)生做到情境記憶和語(yǔ)義記憶并重。即使隨著學(xué)生年級(jí)的升高而偏重語(yǔ)義記憶。也應(yīng)該在對(duì)情境的不斷抽象和概括的基礎(chǔ)上進(jìn)行，使情境成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“回憶鏈”的“中間站”，切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的質(zhì)量。

二、重視幾何直觀。加深記憶的痕跡

所謂幾何直觀，本文是指利用圖形來(lái)描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路或者預(yù)測(cè)問(wèn)題的結(jié)果。教學(xué)實(shí)踐證明，如果從語(yǔ)言的單一角度去組織和表征信息，學(xué)生獲得的知識(shí)不僅抽象、難懂，還會(huì)因?yàn)槁?lián)想強(qiáng)度不足而失去提取該知識(shí)的能量，導(dǎo)致回憶失敗甚至產(chǎn)生遺忘，而借助幾何直觀，則可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了、形象易懂。

基于此，數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重學(xué)生空間與幾何的經(jīng)驗(yàn)。感覺(jué)的積累。適度加強(qiáng)幾何直觀的教學(xué)手段。實(shí)際教學(xué)中，我們可以改進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)信息的加工方式，采用數(shù)形結(jié)合、數(shù)與形象相互表示的方法對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行編碼。為學(xué)生提供從多個(gè)角度、用不同方法進(jìn)行信息編碼的機(jī)會(huì)。從而使數(shù)學(xué)知識(shí)所具有的雙重表象作用得到充分發(fā)揮，在語(yǔ)言記憶和視覺(jué)記憶同步作用的基礎(chǔ)上，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)長(zhǎng)時(shí)記憶痕跡的強(qiáng)度，促進(jìn)信息正確且順利地提取。此處，我們也以三角形面積計(jì)算教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明：在組織學(xué)生操作學(xué)具的前提下。教師要引導(dǎo)學(xué)生借助演示直觀平面圖形，進(jìn)一步感悟和理解三角形計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程，明確各個(gè)操作步驟的數(shù)學(xué)含義，使直觀圖形融進(jìn)該知識(shí)的認(rèn)知圖式之中，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角形面積計(jì)算公式等知識(shí)的記憶和提取。順利解決與之相關(guān)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。需要強(qiáng)調(diào)的是，幾何直觀不僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中。

三、提供豐富變式，促進(jìn)深層次理解

研究表明。對(duì)知識(shí)的教學(xué)，如果，日借助特殊的、單一的、復(fù)制性的背景。那么學(xué)生獲得的“標(biāo)準(zhǔn)樣式”知識(shí)將缺少活力，一旦背景發(fā)生變化，知識(shí)的表征和問(wèn)題的解決就會(huì)發(fā)生困難，同時(shí)還會(huì)削弱學(xué)生的推理能力，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展和學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高。從這個(gè)意義上說(shuō)，要使學(xué)生深刻理解知識(shí)，并不是要讓他們學(xué)習(xí)更多更難的內(nèi)容，而是要讓他們掌握知識(shí)本質(zhì)特征的不同表述方式，即能夠用等值語(yǔ)言對(duì)信息進(jìn)行編碼，對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象給出不同的表示，建立起知識(shí)的多元聯(lián)系，并在背景變化中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的理解進(jìn)行修正。

從這個(gè)角度說(shuō)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該改變數(shù)學(xué)研究對(duì)象的形狀、大小、方向等非本質(zhì)屬性，為學(xué)生提供凸顯知識(shí)本質(zhì)屬性的豐富變式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)形成多角度的理解，增強(qiáng)他們數(shù)學(xué)思維的靈活性與可逆性，從而使他們?cè)诿媾R問(wèn)題時(shí)能夠更加容易地激活知識(shí)，順利地解決問(wèn)題。為了突出問(wèn)題的針對(duì)性。仍以三角形面積計(jì)算教學(xué)為例：當(dāng)學(xué)生初步理解和掌握三角形計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程之后，教師除了要組織學(xué)生利用計(jì)算公式去計(jì)算不同類型三角形面積之外，還需要組織學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，如提供類似文初的需要學(xué)生逆向運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生能夠靈活地從不同角度思考解決問(wèn)題的策略，正確、熟練地提取有關(guān)三角形面積的計(jì)算方法。從而在運(yùn)用中加深對(duì)三角形面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程的理解。需要說(shuō)明的是，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供變式，不能僅僅局限于新知識(shí)形成的過(guò)程中。也應(yīng)該體現(xiàn)在反饋練習(xí)和知識(shí)檢測(cè)的過(guò)程中，使學(xué)生在不斷的變化中真正理解和掌握知識(shí)的本質(zhì)。

四、挖掘思想方法。尋找提取的線索

我們知道。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最積極最活躍的因素。教學(xué)中。如果只注重通過(guò)機(jī)械強(qiáng)化手段讓學(xué)生記憶“結(jié)果”，而沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生理解形成“結(jié)果”的“過(guò)程”，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和掌握數(shù)學(xué)思想方法。就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)功能差。信息聯(lián)系的渠道不暢，知識(shí)的提取困難。在這里，數(shù)學(xué)思想方法就是重要的信息提取線索，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程就是重要的信息記憶和提取通道。只有真正掌握了數(shù)學(xué)思想方法，充分經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握才能水到渠成，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用才會(huì)得心應(yīng)手。

筆者以為，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)“過(guò)程性”，其核心就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的思想性，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下有高度地進(jìn)行思維參與，從而經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。對(duì)此，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓他們?cè)谥R(shí)形成的過(guò)程中感悟、體驗(yàn)、理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法。最后，筆者繼續(xù)以三角形面積計(jì)算教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明：我們?cè)谕ㄟ^(guò)將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式時(shí)，應(yīng)該借助直觀的教具或者多媒體課件的演示，使學(xué)生借助圖示弄清楚各個(gè)操作步驟的數(shù)學(xué)含義，記憶三角形面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程；解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，也應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生借助圖形或者圖形表象。尋找解決問(wèn)題的線索，提取有用的知識(shí)和解決問(wèn)題的策略，從中體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法的形成并非一朝一夕之功。需要我們?cè)诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生長(zhǎng)期感受、體驗(yàn)和應(yīng)用，最終促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地看待問(wèn)題和數(shù)學(xué)地思維。

綜上所述。在教學(xué)中我們應(yīng)該教學(xué)留“痕”，努力將數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程性目標(biāo)真正落到實(shí)處，切實(shí)提高知識(shí)形成過(guò)程的質(zhì)量，從而切實(shí)減輕學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的實(shí)際效果。