識別平行四邊形的三種途徑五種方法

平行四邊形是一個具有重要特征的幾何圖形，這些特征有著極為重要的用途，那么，如何才能正確識別一個幾何圖形是平行四邊形呢?下面從三個途徑為同學們介紹五種識別的方法，供同學們學習時參考．

途徑一 從邊著眼

方法1 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖1，已知平行四邊形ABCD中，點E是AB延長線上的一點，且EC∥BD．試說明線段BE與AB相等的理由．

簡析 由四邊形ABCD是平行四邊形可知AB∥CD且AB＝CD，即BE∥CD，又BD∥EC，所以四邊形BECD是平行四邊形(兩組對邊分別平行)．所以BE=CD．故BE=AB．

方法2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

例2 如圖2．已知△ABC中，分別以三角形的三邊為邊長，在BC邊的同側作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．試判斷四邊形ADEF是一種什么樣的四邊形．

簡析 四邊形ADEF是平行四邊形．因為△ABD、△OCE、△ACF都是分別以△ABC的三邊向BC的同側所作的等邊三角形，所以△BDE和△CFE可以分別看成是△BAC繞點B、C旋轉60°后而得到的．于是有DE＝AC＝AF，AD＝AB＝EF，所以四邊形ADEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等)．

方法3 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例3 如圖3，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的一點，且BE＝DF．試說明四邊形AECF是平行四邊形．

簡析 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC且，AD＝BC．又因為BE=DF，所以AF＝CE．即AF∥CE，AF＝CE，故四邊形AECF是平行四邊形(一組對邊平行且相等)．

途徑二 從角著眼

方法4 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

例4 如圖4，已知AE、CF分別是平行四邊形ABCD的∠DAB、∠BCD的平分線．試說明四邊形AFCE是平行四邊形．

簡析 由四邊形ABCD是平行四邊形可知∠DAB＝∠BCD，AB∥CD，又AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的平分線，所以∠EAF＝1/2∠DAB＝1/2∠BCD＝∠ECF，∠AED＝∠EAF＝∠ECF=∠BFC，所以∠AEC＝180°－∠AED=180°－∠BFC＝∠CFA，故四邊形AFCE是平行四邊形(兩組對角相等)．

途徑三 從對角線著眼

方法5 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

例5 如圖5，已知M、N是平行四邊形ABCD的對角線上兩點，且BM＝DN．試探索∠MAN與∠MCN的關系，并說明你的理由．

簡析 ∠MAN=∠MCN．理由是：連結AC交BD于點O．由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA＝OC，OB=OD，又BM=DN，則BM－NM=DN－MN．即BN＝DM，所以ON＝OM所以ANCM是平行四邊形(對角線互相平分)．故∠MAN＝∠MCN．

責任編輯／沈紅艷bbshy@e172．com