怎樣的路徑最短

課堂上，老師問：小貓看見魚，小狗看見骨頭，會怎樣向著食物運(yùn)動?

學(xué)生：沿直線運(yùn)動．

師：其中蘊(yùn)含什么道理嗎?

生：兩點(diǎn)之間，線段最短．

師：尋求優(yōu)化是人類的一種本能，整個大自然都充斥這一現(xiàn)象．現(xiàn)在讓我們起來探討路徑最短的問題．

問題1：如圖1-1，已知A、B在直線l的兩側(cè)，在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小．

生(紛紛舉手)：根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接AB，AB與直線l的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．(如圖1-2)

師：這個問題較容易，它是解決路徑最短問題的基礎(chǔ)．下面我們來看平面幾何中的“將軍飲馬問題”．

問題2：相傳，古希臘亞歷山大里亞城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思未得其解的問題：從圖2-1中的A地出發(fā)，到筆直的河岸邊去飲馬，然后再去B地，怎樣走距離最短?

生1(思考一會兒)：是不是過點(diǎn)A作河岸的垂線，垂足為M，MA+MB最短?(如圖2-2)

師(微笑地說)：是嗎?嘗試在河岸線上找一些點(diǎn)比較．

生2：不對，我在河岸線上另取一點(diǎn)M′，測量到M′A+M′B比他提供的還要小．

師：能否把問題2轉(zhuǎn)化成問題1?在河岸線另一側(cè)找一點(diǎn)A′，在河岸線上任一點(diǎn)到A、A′的距離相等．

生1(恍然大悟)：噢，可作點(diǎn)A關(guān)于河岸線的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，A′B與河岸線的交點(diǎn)為M，則從A地到M點(diǎn)去飲馬，再從M點(diǎn)到B地去距離最短．(如圖2-3)

師：我為你們而驕傲．當(dāng)時海倫稍加思考，也是這樣圓滿解答了這個問題，并給出說明．如圖2-4，因?yàn)閷τ诤影渡先魏萎愑贛點(diǎn)的N點(diǎn)都有AN+NB=A′N+NB>A′B=A′M+MB=AM+MB．(如圖2-4)此題利用軸對稱將直線同側(cè)點(diǎn)最短路徑問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)點(diǎn)最短路徑問題．下面請同學(xué)們繼續(xù)探討．

問題3：如圖3-1，A、B兩村在一條河的兩邊，該河的兩岸平，要在河上造一座橋，使A、B之間行走的路線最短．問：橋址應(yīng)選在什么地方?(注意從經(jīng)濟(jì)角度考慮，橋必須與河岸垂直)

生(沉默一會兒，自言自語)：連接AB不行，作對稱點(diǎn)也不行……

師：我們一起來分析。可假設(shè)橋在某一位置，如圖3-2，從A村到橋頭的距離AE加上橋長(河的寬度)EF再加上B村到橋頭的距離BF最短，即AE+EF+FB最短，意味著什么最短?

生：由于河的寬度不變，不論修到哪里，橋是必經(jīng)之路，且橋長為一定值，只要AE+FB最短．

師：很好，AE+FB最短能否轉(zhuǎn)化成直線問題，即問題1呢?

生(思考)：可平移FB至EC，轉(zhuǎn)化為在直線l₁上找一點(diǎn)E使EA+EC最短．(如圖3-3)

師：真棒!找這樣的點(diǎn)E，必須先找到這樣的點(diǎn)C，怎樣找呢?大家討論．

生(討論后)：連接BC．四邊形EFBC為平行四邊形，BC∥EF，BC=EE．所以從B村沿垂直于河岸l₂方向走完橋長就能找到點(diǎn)C．(如圖3-4)

師：真聰明!現(xiàn)在你們能設(shè)計(jì)橋址嗎?

生：過點(diǎn)B作河岸的垂線，在垂線上截取BC的長等于河寬，連AC交A村一側(cè)的河岸l₁于E點(diǎn)，作EF垂直于另一岸l₂于F點(diǎn)，則EF為架橋的位置，也就是說，AE+EF+FB是最短路徑．(如圖3－5)

師：這道題可假設(shè)河的寬度為零，將河岸l₂與B村一起向河岸l₁平移，l₂與l₁重合，相應(yīng)地，點(diǎn)B平移至點(diǎn)C，這樣就轉(zhuǎn)化成問題1．(如圖3-6)

師：這節(jié)課，同學(xué)們探索的熱情很高，思維很活躍．我們通過軸對稱、平移等方法轉(zhuǎn)化成直線問題來尋求最佳路徑．“兩點(diǎn)之間，線段最短”真是奧妙無窮，以后我們還會探索不在同一平面上的最短路徑問題．下面的一道思考題，相信聰明的你會找到最佳的路徑．

某班舉行文藝晚會，桌子擺成兩條直線(如圖4中OA、OB)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿橘子，再拿糖果，然后回到座位，請你幫他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短．

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