廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制

摘要:最優(yōu)控制是自動(dòng)控制理論的重要研究分支，本文首次對(duì)廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行研究#65377;利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和廣義李雅普諾夫方程的解來(lái)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定且使廣義二次性能指標(biāo)最小#65377;此外，還給出最優(yōu)化控制器的設(shè)計(jì)方法，整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單，具有較少的保守性，例子表明設(shè)計(jì)方法的有效性和合理性#65377;

關(guān)鍵詞:廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng);最優(yōu)控制;脈沖自由; 全局漸近穩(wěn)定

中圖分類(lèi)號(hào):TP13;O231文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1引言

由于雙線(xiàn)性系統(tǒng)是一類(lèi)特殊的非線(xiàn)性系統(tǒng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單#65380;與線(xiàn)性系統(tǒng)最接近#65380;能在更大范圍內(nèi)精確的描述受控對(duì)象等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于雙線(xiàn)性系統(tǒng)的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注[1#65380;2]#65377;雙線(xiàn)性系統(tǒng)和線(xiàn)性系統(tǒng)相比增加了非線(xiàn)性項(xiàng)，使得研究困難增加，還有許多問(wèn)題有待進(jìn)一步研究#65377;

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制理論向其它學(xué)科的滲透，廣義系統(tǒng)理論應(yīng)運(yùn)而生，且廣義系統(tǒng)模型廣泛存在于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)#65380;電力系統(tǒng)#65380;生態(tài)系統(tǒng)等，因而廣義系統(tǒng)受到了廣泛的重視;目前，對(duì)于廣義線(xiàn)性系統(tǒng)的研究也取得了一定的成果[3-5]#65377;文獻(xiàn)[6]對(duì)廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)已做了初步的研究，本文的目的是利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和廣義李雅普諾夫方程的解來(lái)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，且使所采用的廣義二次性能指標(biāo)最小#65377;

2主要結(jié)果

考慮如下一類(lèi)廣義非線(xiàn)性系統(tǒng):

其中E，A∈Rn×n，f(x，u)∶Rn×Rm→Rn是關(guān)于(x，u) 的連續(xù)向量函數(shù)，且detE=0#65377;

定理1對(duì)于廣義非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)，若(E，A)是脈沖自由 的#65380;σ(E，A) C-，‖f(x，u)‖≤γ‖Ex‖，(γ>0)，且存在李雅譜 諾夫函數(shù)V(Ex)使得:

(ii)集合{x∈Rn∶(Ex)=0}中只包含系統(tǒng)的非平凡軌跡; 則原點(diǎn)是廣義非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)的全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)#65377;

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2007年3月 第26卷第1期蘭奇遜等:廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制證明考慮李雅譜諾夫函數(shù)V(Ex)=(Ex)TVEx(2)在廣義非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)中(E，A)是脈沖自由的#65380;σ(E，A) C-，‖f(x，u )‖≤γ‖Ex‖，根據(jù)文[6]中引理2可知存在正定矩陣Q，V使如下的廣義李雅譜諾 夫方程成立ETVA+ATVE=-ETQE，所以(Ex)|(1)=-xTETQEx+2xTETVf(x ，u)≤xTET(-Q+2γV)Ex，只需令0<γ≤λmin(Q)2λmɑx(V)，即可保證(Ex)|(1)≤0，λmin(Q )，λmɑx(V)分別為Q，V的最小#65380;最大特征值#65377;

顯然，當(dāng)Ex≠0時(shí)，(Ex)<0，所以limt →∞Ex=0，易證limt→∞x=0( 參見(jiàn)[6]中定理2的證明)#65377;

當(dāng)Ex=0時(shí)，由條件可知f(x，u)=0，此時(shí)系統(tǒng)(1)等價(jià)于E= Ax，由于(E，A)是脈沖自由的#65380;σ(E，A) C-，根據(jù)引理可知lim t→∞=0#65377;

下面證明全局漸近穩(wěn)定性:考慮集合

由于Q，V是正定矩陣，顯然0∈Ω，此外滿(mǎn)足Ex=0的x也是Ω中的元素，由上面的證 明可知，不論Ex=0或Ex≠0，均有limt→∞ x=0，即Ω只包含系統(tǒng)(1)的非平凡軌跡;所以x=0是系統(tǒng)的一個(gè)全局穩(wěn)定平衡點(diǎn)#65377;

考慮廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)其中x∈Rn，E，A，Ni，bi(i=1，…，m)是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣 ，di(x)=Nix+bi，且detE=0.我們的目的是怎樣選擇控制u=u使系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定，且使目標(biāo)函數(shù)J=∫∞0L(Ex，u)dt(4)最小，其中L(Ex，u)=12xTETQEx+12{∑mi=11ri(xTETVdi(x))2+uTRu}，Q，V正定，R是對(duì)角矩陣，其元素均大于零，即ri>0(i=1，2，…，m)#65377;

定理2設(shè)對(duì)于廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(3)， 系統(tǒng)(E，A)是脈沖自由 的#65380;σ(E，A) C-，且存在常數(shù)α使得對(duì)于系統(tǒng)(3)的一狀態(tài)解x(t)有‖Nix+bi‖≤α‖Ex‖(α>0)，則廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(3) 在指標(biāo)函數(shù)(4)下有:

(i)存在最優(yōu)控制ui(i=1，2，…，m)使得廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(3)的閉環(huán)系 統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，且使目標(biāo)函數(shù)最小，且

minJ=J=12xT0ETVExT 0，其中x0=x(0)，是系統(tǒng)的允許初態(tài)，R是對(duì)角矩陣，其元素均大于零，即r i>0(i=1，2，…，m)，Q，V是滿(mǎn)足方程ETVA+ATVE=-ET QE的正定矩陣#65377;

(ii)最優(yōu)控制為

ui=-1ri(x)TETVdi(x )，i=1，2，…，m

其中，x是對(duì)應(yīng)于u的最優(yōu)軌線(xiàn)#65377;

證明先證明(ii)，因?yàn)?E，A)是脈沖自由的，σ(E，A) C-，對(duì)于系統(tǒng)(3)考慮Lyapunov函數(shù) V(Ex)=xTETVEx，由引理假設(shè)存在正定矩陣Q，V使得(i)的證明如下:

對(duì)于廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(3)，考慮Lyapunov函數(shù)V(Ex)=xTETVEx，在 定理假設(shè)條件下，只需令α≤γm，不難證明廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)( 7)滿(mǎn)足定理1的條件，所以x=0是廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(7)的全局穩(wěn)定平衡點(diǎn)#65377;

下面證明ui=-1rixTETVdi(x) i=1，2，…，m是系統(tǒng)的最優(yōu)穩(wěn)定化控制律:

將ui=-1rixTETVdi(x)，i =1，2，…，m代入到廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)(3)中得:

E=Ax-∑mi=11ri (x)TETVd2i(x)(13)

所以

(Ex)|(13)=-12xT ETQEx-1ri(xTETVdi(x))2 (14)

顯然(Ex)≤0，和定理1中的證明相似，容易證明limt→∞x=0#65377;

由上面的證明知，在滿(mǎn)足定理的條件下x=0是系統(tǒng)的一個(gè)全局穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即l imt→∞x=0，由(12)式可知

3最優(yōu)化控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)定理2可以設(shè)計(jì)廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)化控制器，其步驟如下:

a#65380;選擇狀態(tài)向量加權(quán)矩陣Q=QT，Q>0;

b#65380;根據(jù)Lyapunov方程(5)求出矩陣V;

c#65380;選擇控制向量加權(quán)矩陣

R=diɑg(ri)，ri>0，i=1，2，…，m;

d#65380;根據(jù)(10)式獲得最優(yōu)化控制器#65377;

4可行性算例

考慮單輸入廣義雙線(xiàn)性系統(tǒng)

顯然，σ(E，A) C-，我們?nèi)?/p>

Q=diɑg(2，2，2，2)，R=0.5，解Lyapunov方程(5)得到:1，1)，由(10)式，可以得到我們所求的最優(yōu)控制器為#65377;

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。