基于徑向基函數與Ｂ樣條的散亂數據擬合方法

摘要:針對散亂數據的曲面擬合問題，提出一種徑向基函數與B樣條插值結合使用的曲面擬合方法#65377;通過分片徑向基函數插值，三維散亂點，再從分片插值曲面上獲取預先設定好的有序網格點的值，最后利用張量積B樣條插值有序網格點，從而得到擬合曲面#65377;該方法較好地解決散亂數據插值和擬合的計算不穩定性問題，最后給出算法實例#65377;

關鍵詞:曲面擬合; 高斯函數; 雙三次B樣條插值; 徑向基函數

中圖分類號:O241.6文獻標識碼:A

1引言

隨著激光測距掃描等三維數據獲取硬件技術的日趨完善，人們可以得到精度和密度都越來越高的物體表面三維數據，利用物體表面三維數據來建立真實物體數字模型也成為近年來國際圖形學界的一種發展趨勢，曲面重構作為這種建模方法的一個重要研究課題也得到了廣泛的探討和研究，成為國際上的研究熱點之一.曲面重構可分為插值和逼近兩種方法#65377;曲面插值就是重構出來的目標曲面必須通過所有的采樣點，包括型值點，邊界及曲面內部法矢等信息;逼近曲面只是對采樣點進行有權逼近，它不一定要求所有的采樣點都落在目標曲面上，而只需要重構曲面滿足用戶的反求設計要求即可#65377;本文通過分析現有方法存在的困難，提出了一種基于徑向基函數與B樣條結合使用的曲面擬合方法，較好地解決了散亂數據插值和擬合的計算不穩定性問題#65377;考慮用于多變量函數插值的徑向基函數方法.給定函數∶R+→R，對于數據方程(1)對任何數據{Xj，fj}∈RdR，當Xj兩兩不同時都有解的充要條件是:對任何兩兩不同的Xj，矩陣((‖Xk-Xj‖))是非奇異的.正定函數是滿足這種性質的函數.我們知道，Gauss函數#65380;逆Multi-Quadric函數都是正定函數.對于數據量少的情況，徑向基函數插值的結果較令人滿意，而且計算也比較簡單.但同時也存在一些問題，比如方程系數矩陣的條件數問題.徑向基函數插值最終歸結為求解一個線性方程組，在大數據時這是一個大規模矩陣的求逆問題.當數據較多時，得到的矩陣一般是數值不穩定的.

基于徑向基函數與B樣條的散亂數據擬合方法張量積B樣條插值也是實際中常用的插值方法.對于較均勻的矩形網格數據，其插值效果較好.而對于非均勻的大量散亂數據，B樣條插值同樣存在計算不穩定問題，而且所生成的插值曲面的光滑性無法保證本文針對徑向基函數插值和B樣條插值的優點和缺點，提出一種新的散亂數據擬合方法:徑向基函數與B樣條結合使用的曲面擬合方法.

2散亂數據擬合方法

這種方法的整體思想是:將擬合散亂數據點的問題轉化為擬合有序點列(其投影是平面上的網格點)的問題，并通過徑向基函數插值方法預估這些有序點列的值，然后再用張量積B樣條插值這些有序點列，從而得到需要的擬合曲面.

(1)設曲面的原始數據點集合為S;

(2)設S0為點集S在XOY平面上的投影點集，并圈定S0的邊界(為了便于編程實現，我們一般圈定矩形區域);

(3)對S0進行網格劃分為M×N個區域，這些網格上的點即為我們要用B樣條插值的點在XOY平面上的投影;

(4)將原始數據點集S分塊，設塊數為p，每塊數據點的個數為nk(k=1，2，…，p)個(可根據數據點的分布特征和S0的網格來進行分塊);

(5)每小塊數據點集sk(k=0，1，…，p)分別用不同的徑向基函數fk(k=1，2，…，p)進行插值，生成分塊插值曲面;

(6)根據分塊插值曲面函數fk(k=1，2，…，p)來分別求出步驟(3)中網格點所對應的函數值，所有函數值的集合構成了B樣條插值點集Pij(i=0，1，…，M，j=0，1，…，N);

(7)利用點集Pij作B樣條插值曲面，生成B樣條插值網格曲面;

(8)根據誤差分析進行網格調整，提高逼近精度.設第h塊數據點集sh={qi(i=1，2，…，nh)}，所對應的函數值為f的值，從而求得所有區域的徑向插值曲面方程，利用求得的分塊徑向插值曲面方程，我們可以求出步驟(3)中網格點所對應的函數值，從而取得B樣條插值點集Pij(i=0，1，…，M，j=0，1，…，N).于是，待求的B樣條插值曲面方程為利用參考文獻中的方法，即可求得所要的B樣條插值曲面.

3算法實例分析

由前面幾節的論述可以看出，筆者提出的基于徑向基函數和B樣條的散亂數據擬合算法是一個逐步實現的過程.本文采用基于高斯基函數和雙三次B樣條進行具體計算.高斯函數插值法的數學模型為雙三次B樣條插值曲面方程為:下面介紹兩個具體的計算實例，不失一般性，我們取兩組不容易畫網格的散亂數據點.圖1給出了兩組原始數據點在XOY平面上的投影點集分塊以及劃分網格.圖2給出了兩個由高斯分塊插值曲面上的網格點生成的雙三次B樣條插值曲面(網格較稀疏).圖3給出了兩個由高斯分塊插值曲面上的網格點生成的雙三次B樣條插值曲面(網格較密).從擬合曲面的生成過程可知，用本文方法生成的曲面形狀和逼近精度與各高斯分塊的α值以及預處理網格點的疏密程度有關.表1給出第一組散亂數據的各參數變化對曲面最終逼近精度的影響情況，其中qs表示原始數據點，Qs為原始數據點對應的生成曲面上的點，即qs與Qs在XOY平面上具有相同的投影，mɑx‖qs-Qs‖表示qs與Qs的最大誤差，1/n∑‖qs-Qs‖表示qs與Qs的平均誤差.顯然，適當選取各分塊的值對曲面擬合結果有一定的影響，通過網格點預處理加密可以有效地提高逼近精度.表1各參數變化對曲面最終逼近精度的影響情況各參數取值圖1兩組原始數據點在XOY平面上的投影點集分塊以及劃分網格

圖2由斯插值曲面上的網格點生成的B樣條插曲面 圖3由斯插值曲面上的網格點生成的B樣條插曲面

4結論

由前面的論述可以看出，本文提出的算法具有以下優點:

(1)較好地解決了徑向基函數插值方法插值大量散亂數據的計算不穩定性問題;

(2)較好地解決了張量積B樣條插值曲面不適合于插值非矩形網格數據問題;

(3)可根據需要對網格進行調整，提高逼近精度.實例表明，在解決散亂數據點的曲面擬合問題時，本文提出的算法是可行的，效果是顯著的

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