基于最優小波和序列二次規劃的信號壓縮算法

2007-01-01 00:00:00楊欣陳麗娟費樹岷

計算機應用研究 2007年6期

摘要：為了尋找待壓縮信號的最優小波，提出了一種適用于一維和二維信號的尋找其最優正交小波的算法。首先根據小波變換的多分辨分析原理，把待壓縮信號投影在其小波變換子空間v-1和w-1上；然后令其在w-1上的投影達到最小并據此推出最優小波濾波器的推導公式；最后，基于序列二次規劃求出給定信號的最優小波。實驗清楚地顯示了用新算法求出的最優小波的正確性，并表明用此算法得出的最優小波進行信號壓縮，在壓縮比不變的情況下，效果優于D-8小波等其他常見小波。

關鍵詞：最優小波；信號壓縮；序列二次規劃；多分辨分析

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2007)06-0210-03

近年來，小波變換在信號處理領域，特別是在信號壓縮［1］領域中，越來越受到廣泛重視。各種最新的編碼算法不斷應用于變換系數中，以取得更好的信號壓縮效果。

對于要壓縮的圖像，應該選擇最適合待壓縮信號特點的小波，即最優小波。本文在文獻[2－5]的基礎上對最優小波進行了深入研究，提出了一種新的基于序列二次規劃的尋找給定待壓縮信號的最優正交小波算法。該算法可以求解

一維、二維信號，而且可以滿足小波正交性的要求。

1 離散小波變換的正交性條件［6］

為了保證尺度函數φ(t)和小波函數ψ(t)的正交性，有一定的條件限制。文獻[7]對這些正交性條件作了詳細論述。利用尺度函數φ(t)和小波函數ψ(t)的遞推方程，對正交性條件描述如下：

2 給定信號小波濾波器的優化

2.1 一維信號小波濾波器的優化

由小波變換的多分辨分析可知，若要對信號進行最優壓縮，需給定信號在wj子空間上的投影應達到最小，反過來在vj上的投影應該是最大的。這是因為在壓縮信號時，通常舍棄信號在wj空間上的投影［8］。

因為x(n)是信號x(t)的最高分辨率分解，如果用給定信號在w-1子空間上的投影來重構連續信號，設為(t)，那么

把尋找最優小波優化問題的目標函數定義為x(t)和(t)的能量差，即式(10)是一個有N個未知數的方程組。為了保證得出的小波濾波器的正交性，h1(n)的解必須遵循非線性方程式(2)－(4)和線性方程式(5)、(6)。因此，對一維信號小波濾波器的優化問題就轉換為一個用線性和非線性約束式(10)和(2)－(6)使得線性代價函數式(8)達到最大的問題。得出如下非線性規劃問題：

2.2 二維信號小波濾波器的優化

3 尋找給定信號最優小波

根據上面的分析可知，求解一維和二維信號的最優小波，實際上就是求解兩個非線性規劃問題。而序列二次規劃算法，就是求解上述非線性規劃的有效方法。

序列二次規劃算法［9］的基本思想是將原問題轉換為一系列二次規劃的子問題，以這一系列子問題的最優解逼近原問題的最優解。二次規劃問題是最簡單的非線性規劃問題，其目標函數是二次函數，而約束條件是線性函數。現今解決二次規劃問題的算法和程序均已非常成熟。

將如上的非線性規劃問題總結成下面的一般形式：

4 試驗及結果

試驗中，對于一維信號，首先用序列二次規劃方法求出給定信號的最優小波；然后，分別用Daubechies-8小波和最優小波對信號進行分解，如圖2所示。最上面的是原始信號，中間的是信號在a-1上的投影，最下面的是信號在d-1上的投影。可以看到，用D-8小波濾波器對原始信號進行變換，其d-1上投影的能量比最優小波高很多。這意味著用最優小波對信號在a-1上進行投影比用D-8更加匹配信號，即用最優小波更加適合對信號進行分解。

(a) Daubechies-8小波

(b) 最優小波

圖2 用Daubechies-8小波和最優小波對信號分解

對于二維信號，用Bior3.7小波、Daubechies-8小波和本文算法得出的最優小波分別對wbarb.mat圖像（圖3）和flujet.mat圖像（圖4）進行編碼壓縮，壓縮后的PSNR如圖5所示。

(a）原始圖像

(b）最優小波壓縮

(c） Bior3.7小波壓縮

(a）原始圖像

(b）最優小波壓縮

(c） D-8小波壓縮

圖3 最優小波和Bior3.7小波進行圖像壓縮效果圖

圖4 最優小波和D-8小波進行圖像壓縮效果圖