基于閑置比特使用的量子傅里葉線路優(yōu)化

摘 要：通過(guò)使用閑置比特取代引入輔助比特，在閑置比特真正工作之前，它們代替輔助比特工作，可以大大提高量子比特的使用效率，減少操作時(shí)間。該方法可以進(jìn)一步推廣到其他量子線路。

關(guān)鍵詞：量子線路；傅里葉變換；閑置比特

中圖分類號(hào)：O413;TP13文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695(2007)06-0251-02

0 引言

自從Shor［1］在1994年發(fā)現(xiàn)了大數(shù)分解的有效算法之后，量子計(jì)算領(lǐng)域出現(xiàn)了一系列的研究成果［2，3］。因?yàn)槭褂昧孔盈B加態(tài)，量子算法可以大大縮短某些問(wèn)題的計(jì)算時(shí)間，可能據(jù)此解決經(jīng)典計(jì)算無(wú)法解決的問(wèn)題。然而，任何量子算法都涉及到一批聯(lián)合量子比特從初試態(tài)開(kāi)始演化的一系列矩陣，因此需要尋找能夠有效實(shí)現(xiàn)任何給定量子算法的方案。與經(jīng)典計(jì)算線路類似，量子算法也通常使用量子線路來(lái)實(shí)現(xiàn)［4］。

為了滿足在設(shè)計(jì)其物理實(shí)現(xiàn)對(duì)量子信息相干性的嚴(yán)格要求，人們?cè)诟鱾€(gè)方面均作出了很多努力［5－7] 。 

理論上量子計(jì)算機(jī)的工作效率可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)經(jīng)典計(jì)算機(jī)，能夠完成經(jīng)典計(jì)算機(jī)不能完成的工作。在量子計(jì)算機(jī)的整個(gè)體系結(jié)構(gòu)中，量子邏輯計(jì)算線路是其中的研究重點(diǎn)之一。微觀世界形態(tài)是用量子力學(xué)所描述的，其動(dòng)力學(xué)過(guò)程遵循薛定鄂方程，但是其哈密爾頓量容易受到環(huán)境的影響，從而使得量子計(jì)算的信息單元即量子比特所攜帶的相干信息遭到破壞。在物理學(xué)上這個(gè)過(guò)程稱為“退相干”。由于這個(gè)問(wèn)題的存在，就促使了要在 “退相干”的時(shí)間內(nèi)，完成量子計(jì)算［8，9］。

與經(jīng)典傅里葉變換相對(duì)應(yīng)，存在著量子傅里葉變換。它在量子計(jì)算中占據(jù)很重要的位置，如在Shor大數(shù)分解算法和Grover搜索算法中就必須利用量子傅里葉變換。

本文通過(guò)使用閑置比特的方法來(lái)節(jié)省操作時(shí)間。在閑置比特真正工作之前，它們代替輔助比特工作。充分利用態(tài)為｜0〉的閑置比特，可以大大提高量子比特的使用效率，節(jié)省操作時(shí)間，同時(shí)避免引入輔助比特而使系統(tǒng)信息更容

易受到環(huán)境的干擾。

1 若干概念

一個(gè)量子比特（即量子位）就是一個(gè)二維Hibert空間。在量子計(jì)算中通常可以引進(jìn)基矢:

定義1（工作比特） 酉操作所涉及到的量子比特稱之為工作比特。

定義2（閑置比特） 酉操作一直都沒(méi)有涉及到的比特稱為閑置比特。這里強(qiáng)調(diào) “一直”在某一酉操作的時(shí)候，沒(méi)有涉及到的比特可能在此之前的酉操作已經(jīng)涉及到了，所以不能認(rèn)為是閑置比特，閑置比特必須是未曾涉及過(guò)的；并且考慮到“量子克隆”的特殊性，這些閑置比特的狀態(tài)必須是｜0〉。

考慮如下所示的一個(gè)控制酉矩陣：

在控制酉矩陣的工作模式中，存在兩類不同的比特，即控制比特和目標(biāo)比特。

定義3（控制比特） 當(dāng)控制酉矩陣作用在兩個(gè)比特上時(shí)，其中一位始終保持不變，并且它的狀態(tài)決定了另外一位的狀態(tài)是否改變。那么這一位稱之為控制比特。

定義4（目標(biāo)比特） 控制酉矩陣涉及到的除了控制比特之外的另一位。由控制比特的狀態(tài)來(lái)決定對(duì)其的作用，即如果控制比特的狀態(tài)是｜0〉，則保持不變，否則由酉矩陣對(duì)其加以作用。

2 建立在使用閑置比特基礎(chǔ)上的量子傅里葉線路

根據(jù)并行準(zhǔn)則可以把標(biāo)準(zhǔn)的量子傅里葉線路變換為如圖1所示［8］。

圖1 經(jīng)過(guò)并行操作后的量子傅立葉線路形式

Grover搜索算法的第一步，需要首先從｜0，0，…0〉經(jīng)過(guò)量子傅立葉變換得到一個(gè)等重疊加態(tài)，文中則以此線路為例給予說(shuō)明。

為了更好地利用并行性能，可以將其中一個(gè)輸入制作出若干個(gè)“copy”。而Controlled－not 門則可以通過(guò)一個(gè)非破壞性的測(cè)量將其中的一位“拷貝”到一個(gè)純態(tài)是｜0〉的輔助位：

注意到末態(tài)不是兩個(gè)分離的態(tài)的直積而是完全糾纏的。然而經(jīng)典的”非克隆原理”則要求在計(jì)算的最后把輔助態(tài)分離出來(lái)而回歸到其初始態(tài)｜0〉，這也是這種量子線路當(dāng)中十分重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

定理1針對(duì)一個(gè)固定的控制比特而不同的目標(biāo)比特所進(jìn)行的n個(gè)連續(xù)的控制酉矩陣操作可以并行到O（log n)時(shí)間序列完成［8］。

圖2中，雖然引進(jìn)的輔助比特可以使線路的執(zhí)行時(shí)間縮短，但是更多比特的量子系統(tǒng)受環(huán)境影響更大，系統(tǒng)的相干信息更易丟失。本文采用的方法則能有效解決這個(gè)問(wèn)題，把閑置比特當(dāng)作工作比特來(lái)使用，就可以對(duì)量子傅里葉線路進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化。

可以觀察到2k比特的量子傅立葉線路，如果在只涉及到至多k個(gè)量子比特的酉操作時(shí)存在至少k個(gè)狀態(tài)｜0〉的比特是閑置比特，那么就可以把這k個(gè)比特視為輔助比特加以利用。

本文以2k比特的量子傅里葉變換為例進(jìn)行并行操作。2k比特的該線路可以分為兩個(gè)部分：把存在至少k個(gè)閑置比特的前半部分量子線路稱為第一部分，把剩下的后半部分線路稱為第二部分。

第一部分中，可將閑置比特視為輔助比特。例如，在第一部分如果第i個(gè)比特作為控制比特，那么就有i-1個(gè)控制酉矩陣作用在從第一個(gè)至第i-1個(gè)目標(biāo)比特上。 

首先利用控制非門把第i個(gè)比特的狀態(tài)“拷貝”到剩下的i-1閑置比特，這個(gè)操作共需要「log(i)個(gè)時(shí)序。

然后可以同時(shí)進(jìn)行這個(gè)i-1控制酉門操作。

對(duì)于量子傅里葉變換線路優(yōu)化前后總的步長(zhǎng)數(shù)目作的比較如圖4所示。

3 結(jié)束語(yǔ)

量子傅里葉變換在量子Shor算法中有很重要的作用，如何實(shí)現(xiàn)是個(gè)必須探索的問(wèn)題。

本文提出了一個(gè)減少操作時(shí)序的有效的方法：充分利用態(tài)為｜0〉的閑置比特。由于量子信息處理系統(tǒng)和環(huán)境之間存在糾纏，越多的比特會(huì)使環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的影響更加明顯。這種利用閑置比特取代引入新的輔助比特的方法可盡量減弱環(huán)境的干擾。

類似地，這種方法還可以推廣到其他的線路。事實(shí)上，除了對(duì)量子傅立葉線路的前部分進(jìn)行優(yōu)化之外，對(duì)后半部分也可以利用閑置比特盡可能地得到較好的結(jié)果。然而，網(wǎng)絡(luò)的第二部分可以利用的閑置比特個(gè)數(shù)越來(lái)越少，因此必然有一個(gè)在此范圍內(nèi)利用效率最高的閑置比特個(gè)數(shù)下界。

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