阿羅不可能定理（Ａｒｒｏｗ’ｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｅｍ）

術語故事

“不可能”—— 人類的無奈

在人們的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據少數服從多數的原則通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。然而，通過選舉能否真正達到這個目的呢？ 1972年，諾貝爾經濟學獎獲得者、美國經濟學家肯尼斯·約瑟夫·阿羅(K. J. Arrow)采用數學方法于1951年深入研究了這個問題，并得出：當至少有三名候選人和兩位選民時，大多數情況下這是不可能的，這就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理”。這種“不可能”同樣適用于其他將每個個人意愿的先后順序排列成整個群體的偏好順序的情況。

考慮這樣一個社會，其中包括三個人，分別用1、2和3代表。這三個人在三種方案a、b和c之間進行選擇，以形成三人共同的，即社會的方案。

首先將個人選擇看做每個人根據自己的喜好程度給各種備選方案從大到小的排序過程，每個人的喜好排序滿足下列要求：

1．對任意一對備選方案a、b，一個人喜歡a勝于b、喜歡b勝于a和對兩者同樣喜歡這三種情況必有其一。這被稱為完全性。

2．任意一個備選方案至少和它自身一樣好。或者說，從同樣的偏好標準出發，一個人不能既喜歡又不喜歡同一個備選方案。這被稱為反身性。

3．如果一個人喜歡a勝于b，喜歡b勝于c，那么他應該喜歡a勝于c。這被稱為傳遞性。

顯而易見，對于一個正常人來說，這三個要求相當合情合理，絕無過分之處。

現在假定單個人對三種方案的喜好次序分別為(a，b，c)1、(b，c，a)2、(c，a，b)3，并按照這些喜好對每一對可能方案進行投票；社會的選擇方案按“大多數規則”從這些單個人投票中得出。

首先對a和b兩種方案進行投票。根據上面假定的單個人喜好次序，3人的投票結果應為： (a，b)1、(b，a)2、(a，b)3，于是，按大多數規則，社會偏好次序就是(a，b)；其次考慮方案b和c。我們有：(b，c)1、(b，c)2、(c，b)3，社會偏好次順序為(b，c)；最后是a和c。各個個人的偏好次序為：（a，c）1、(c，a)2、（c，a）3，社會偏好次序為(c，a)。

于是，整個投票結果是：方案a甚于b、方案b甚于方案c、方案c甚于方案a！顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”是相互矛盾的。因此，在上述給定的單個人偏好次序中，按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會選擇方案。

上面是就相互沖突的一種個人偏好類型，說明投票的大多數規則不能形成社會的偏好次序。這當然不是說，在任何情況下都不能從個人偏好次序形成社會偏好次序。例如，如果我們用“獨裁”規則代替大多數規則，則獨裁者的個人偏好就成為“社會”的偏好；又例如，如果我們用完全一致的個 人偏好類型代替上述相互沖突的類型，例如，假設個人偏好為：(a，b，c)1、(a，b，c)2、(a，b，c)3，則按照大多數規則亦可形成確定的社會偏好次序(a，b，c)。

但是，上述兩種情況存在很大局限性。“獨裁”規則可以從任何的個人偏好次序中形成“社會”的偏好次序。但這樣形成的“社會”偏好次序并不能真正地反映社會的偏好；假定個人偏好類型完全一致也是完全不現實的。因此，就一般情況而言，我們只能遵從“阿羅不可能定理”。阿羅的研究結果意味著：在現實生活中，根本不存在一種按照少數服從多數規則、既能保證效率又尊重個人喜好的投票方案。

阿羅不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的沖擊，招來了薩繆爾森(P. A. Samuelson)等著名經濟學家的批駁。但阿羅不可能定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰。

那么通過選舉選擇領導人還有什么意義呢？其實在西方國家民眾的心目中，選舉作為“主權在民”和“統治者的權力來源于被統治者的同意和授予”這一根本原則的集中體現和根本保障，是政權合法性的唯一來源；而且通過定期的自由選舉，民眾可以將領導人始終置于整體的壓力和有效監督之下，使之不至于因長期掌權而異化為凌駕于自己頭上的實際“主人”。關于這一點，只要回想一下備受中國人譏笑的上屆美國大選就可一清二楚：當年布什和戈爾為爭總統職位打得頭破血流，然而核心卻是誰得到了選民更多的授權——那些備受爭議的選票究竟是投給誰的，有沒有給搞錯，要不要重新統計，僅此而已。

“阿羅不可能定理”表明了根本不存在進行社會決策的“完美”方式，任何“民主”都是相對的。這說明了人類在社會選擇上的無奈！

術語釋義

“阿羅不可能定理”是對阿羅所提出的一種推論的通稱。這個推論認為，在現實中，不可能在已知社會所有成員的個人偏好次序的情況下，通過一定的程序，把各種各樣的個人偏好次序歸結為單一的社會偏好次序，即不可能通過一定的合理程序準確地達到合意的公共決策。阿羅用比較高深的數學證明了這一點。這一理論在社會福利政策和公共政策的研究中具有極其重要的價值。

阿羅認為，一種“合理的”集體選擇和社會決策機制應能夠滿足如下幾個前提條件：

1. 自由選擇。對所有備選方案，任何人都可以有自己的任何的行為偏好。

2. 非獨裁性。沒有哪個人能使其偏好自動地支配任一其他人的偏好。也就是說，不存在這樣一個成員，只要他喜歡狀況A超過B，不管其他成員的偏好如何，集體就得把A放在B前面。

3. 如果社會中每個人喜歡狀況A超過B，則集體也必須把A放在B前面。

4. 不相干方案的獨立性。集體對任何兩個方案的偏好，僅與集體成員對這兩個方案的偏好有關，而與他們對其他不相干方案的偏好無關。

所有這四個要求看起來極其有道理，不過要找到一個適合所有這些條件的機制卻相當困難。事實上，阿羅已經證明了以下這個著名的結論：如果一個社會決策機制滿足以上條件，那么它必然是一個獨裁：所以社會偏好順序就是一個人的偏好順序。這就是“阿羅不可能定理”。它表明，在現實的公共選擇中，人們不可能找出一種確切的集體選擇規則或方法，能夠保證從個人的偏好得到“合理的”集體的選擇。

人們通常認為，只要存在恰當的社會選擇機制，個人偏好序列的集合能夠形成一種最優的公共選擇行為。而阿羅不可能定理是非常令人吃驚的，它表明社會決策機制的以上四個非常有道理的和合意的條件是和民主不相容的。如果我們企圖尋找一個把個人偏好加總成為社會的方法，我們將不得不放棄以上社會決策機制四個條件之一。

郭萬超：北京市委宣傳部理論處，100743