梯形中常見輔助線的作法

【摘要】文本從過上底的兩個端點向下底作垂、過上底的一個端點作一腰的平行線、過上底的一個端點作一對角線的平行線、過一腰的中點作另一腰的平行線等八個方面，探討在梯形中常見輔助線的做法并舉例說明。

【關鍵詞】梯形 輔助線作法

梯形是我們在學習中常見的一種基本圖形，我們在解決梯形中的各類計算及證明問題時，一般都需要進行轉化，即轉化為三角形、平行四邊形等常見的圖形進行研究。在學生的知識體系中有較為充分的三角形及平行四邊形的相關知識，具備不同條件的梯形轉化方式也不盡相同，因而輔助線添加方式也因其而異，下面就我個人一些教學經驗，淺談一下梯形中常見輔助線的做法。

一、過上底的兩個端點向下底作垂線

例1．已知:梯形ABCD中，AD//BC，AD=8，BC=16。∠B=60°，∠C=30°。

求：腰AB的長。

解：作AE⊥BC，垂足為E，作DF⊥BC，

垂足為F，則四邊形AEFD為矩形。

∵EF=AD=8

設BE=x，則FC=8－x

∴DF=FC·tan∠C=(8－x)·tan30°=/3(8－x)

∴AE=/3(8－x)

在Rt△ABE中

∵AE/BE=tan∠B=tan60°

∴x=2，從而AB=2BE=4

二、過上底的一個端點作一腰的平行線

例2．同例1

解：作DE//AB交BC于E

∵DE//AB，AD//BE

∴四形形ABED是平行四邊形

∴DE=AB，∠DEC=∠B=60

∴EC=BC－BE=BC－AD=8

在△DEC中，∵∠C=30°，∠DEC=60°∴∠EDC=90

∴DE=1/2 EC=4即AB=4

三、過上底的一個端點作一對角線的平行線

例3．在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC⊥BD，梯形的高為10cm，求梯形中位線的長。

解：過點C作CE//DB交AB的延長線于點E

∵AB//CD，CE//DB

∴四邊形DBEC是平行四邊形

∴DC=BE，DB=CE

∵梯形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD

∴AC=CE

∵AC⊥BD，DB//CE

∴AC⊥CE

∴△ACE是等腰直角三角形

∵CF⊥AB且CF=10

∴CF=1/2AE=1/2（AB+BE）=1/2（AB+DC）=10cm

四、過一腰的中點作另一腰的平行線

例4．同例1

解：過DC的中點作GF//AB交BC于F，交AD的延長線于G

∵AB//GF，AG//BF

∴四邊形ABFG是平行四邊形

∴AG=BF，又易證DG=FC

∴8+FC=16-FC∴FC=4

在△EFC中，∵∠EFC=∠B=60°，∠C=30°∴∠FEC=90°

∴EF=1/2FC=2又∵AB=FG=2EF ∴AB=4

五、過上底的一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交

例5．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD+BC，M是CD的中點

求證：AM⊥BM

證明：連結BM并延長BM交AD的延長線于點N

∵BC//AD

∴∠CBM=∠DNM

∵∠CMB=∠DMN，CM=DM

∴△CMB≌△DMN

∴BC=ND，NM=BM=1/2BN

∴AN=AD+DN=AD+BC=AB

∴△ABN為等腰三角形

∵NM=BM∴AM為△ABN的中線∴AM⊥BM

六、延長兩腰使之相交

例6．同例1

解：延長BA、CD相交于E

∵∠B=60°，∠C=30°

∴∠E=90°

∴AE=1/2 AD=4

BE=1/2 BC=8

∴AB=BE－AE=8－4=4

七、過一底的中點作兩腰的平行線

例7. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=8

BC=16，∠B=60°，∠C=30°，M 是AD的

中點，N是BC的中點

求：MN的長

解：作MP//AB交BC于P，MQ//CD交BC于Q

則四邊形ABPM和MQCD都是平行四邊形

∴PQ=BC－BP－QC=16－8=8

∵∠MPQ=60°，∠MQP=30°

∴∠PMQ=90°

∵NB=NC，BP=CQ ∴NP=NQ

∴MN= 1/2PQ=4

八、梯形腰上的中點作輔助線，利用梯形的中位線定理

例8．在梯形ABCD中，AD//BC，FA和FB分別平分∠BAD和∠ABC

求證：AB=AD+BC

證明：過AB的中點E，然后連接EF

∵AD//BC

∴∠BAD+∠ABC=180°

∵FA平分∠BAD

∵∠FAB＝∠FAD= 1/2∠BAD

∵FB平分∠ABC

∴∠ABF=∠CBF=1/2∠ABC

∵∠FAB+∠ABF=1/2∠BAD+1/2∠ABC=1/2（∠BAD+∠ABC）=90°

∴∠AFB=180°－∠FAB－∠ABF=180°－（∠FAB+∠ABF）=180°－90°=90°

∴△ABF是直角三角形，∠AFB=90°

∵E點是AB的中點

∴EF為Rt△ABF的中線

∴AE=EF=EB=1/2 AB

∴∠EFB=∠ABF=∠CBF

∴EF//BC

∵AD//BC

∴EF//BC//AD

∵AE=EB

∵DF=FC

∵點F為CD中的點

∴EF是梯形ABCD的中位線

∴EF=1/2（AD+BC）

∴EF= 1/2AB

∴AB=AD+BC

總之在解決有關梯形的問題中，往往通過作輔助線構造三角形、平行四邊形，利用三角形、平行四邊形的知識來解決。

（作者單位：福建省南安市成功中學）