小波尺度空間中的邊緣檢測算法

摘 要：提出用一個(gè)非線性的小波尺度空間代替高斯尺度空間，得到小波尺度空間中的邊緣檢測算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該邊緣檢測方法優(yōu)于Canny邊緣檢測的多尺度方法，能夠保留更多的圖像細(xì)節(jié)邊緣，具有較強(qiáng)的抗噪聲能力。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測；尺度空間；平移不變小波閾值；高斯濾波

中圖分類號(hào)：TN911.73文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001—3695(2007)03—0097—03

邊緣檢測是計(jì)算機(jī)視覺和圖像分析領(lǐng)域中一個(gè)非常基礎(chǔ)而又重要的課題。邊緣表示了信號(hào)的突變情況，它包含了圖像的大量信息，反映了物體的特征。因此，尋求有效的邊緣檢測方法一直是人們研究的重點(diǎn)。傳統(tǒng)的邊緣檢測算子如Robert、Sobel、Prewitt和Kirch等算子都是對(duì)像素點(diǎn)的領(lǐng)域操作，用像素模板逼近梯度。這些邊緣檢測算子一般對(duì)噪聲比較敏感，并且常常會(huì)在檢測邊緣的同時(shí)加強(qiáng)噪聲。基于傳統(tǒng)邊緣檢測的不足，人們從各個(gè)角度提出了新的邊緣檢測算法：Marr和Hildreth[1]引入了邊緣檢測的理論并用LOG算子的零交叉點(diǎn)來確定邊緣；Haralick[2]利用二階方向?qū)?shù)的零交叉點(diǎn)來確定圖像的邊緣；Canny[3]首次提出了用于圖像邊緣檢測的一種連續(xù)的計(jì)算模型，給出邊緣檢測準(zhǔn)則并依此提出了次最優(yōu)的高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)邊緣檢測算子。

用單一尺度的邊緣檢測算子不可能正確地檢測出邊緣，同時(shí)，為避免在濾除噪聲時(shí)影響邊緣的準(zhǔn)確檢測，用多尺度的方法檢測邊緣越來越引起人們的重視。多尺度邊緣檢測就是有效地組合利用多個(gè)不同尺度的邊緣檢測算子，正確地檢測出圖像的邊緣。常用的多尺度邊緣檢測方法是，先分別用幾個(gè)不同尺度的邊緣檢測算子檢測邊緣，再組合它們的輸出結(jié)果以獲得理想的邊緣，如多尺度形態(tài)學(xué)邊緣檢測[4]、多尺度自適應(yīng)加權(quán)形態(tài)邊緣檢測算法[5]。但如何根據(jù)不同的圖像選擇尺度參數(shù)和如何有效地組合不同尺度濾波器的輸出結(jié)果，并沒有得到很好的解決。組合幾個(gè)不同尺度的Canny邊緣檢測結(jié)果得到其多尺度形式。實(shí)際上，Canny邊緣檢測方法的多尺度形式等價(jià)于在一個(gè)高斯線性尺度空間中進(jìn)行Canny最優(yōu)算子的邊緣檢測。高斯線性尺度空間是通過高斯平滑濾波獲得的。高斯濾波實(shí)際上是一種線性低通濾波，這種濾波模糊圖像的部分邊緣，使原圖像出現(xiàn)過度平滑及邊緣移位現(xiàn)象，不利于圖像的邊緣檢測。因此可以用非線性的小波尺度空間代替高斯尺度空間作邊緣檢測，這樣能避免上述問題，獲得更好的邊緣檢測結(jié)果。

1 尺度空間

1983年，Witkin[6]提出尺度空間的概念，開辟了多尺度邊緣檢測的廣闊空間。尺度空間把一組圖像同時(shí)在多個(gè)尺度上表述，圖像的多個(gè)尺度通過高斯平滑來獲得。假設(shè)I是R2中的一個(gè)有界子集， f：I→R表示原始圖像，L:I×R→R表示它的尺度空間，由以下公式定義

其中，g(x，y，σ)表示兩維的高斯核。由式（1）定義的尺度空間是線性的。

2002年，Chambolle和Lucier[7]提出了一個(gè)基于小波的非線性圖像光滑尺度空間。該尺度空間是通過迭代的平移不變小波閾值得到的。他們提出可以將迭代的平移不變小波閾值看作L2(I)上的一個(gè)連續(xù)收縮半群，即可以把它們看作關(guān)于B11(L1(I))空間半范數(shù)的梯度下降，從而可以在對(duì)圖像進(jìn)行迭代的平移不變小波閾值中得到圖像的一個(gè)非線性小波尺度空間。

2 小波尺度空間中的邊緣檢測

由于物理和光照等原因，實(shí)際圖像中的邊緣常常產(chǎn)生在不同的尺度范圍上，并且每一邊緣像元的尺度信息是未知的，利用單一固定尺度的邊緣檢測算子不可能最佳地檢測出這些邊緣。實(shí)際上，小尺度參數(shù)的邊緣檢測算子能夠檢測出灰度發(fā)生的細(xì)變化，而大尺度參數(shù)的邊緣檢測算子能夠檢測出圖像發(fā)生的粗變化，并且相同類型的邊緣在不同尺度上存在著因果關(guān)系。因此，利用多尺度技術(shù)檢測邊緣是獲得理想邊緣檢測的一個(gè)好途徑。所謂多尺度邊緣檢測，就是有效組合利用多個(gè)不同尺度的邊緣檢測算子同時(shí)正確地檢測一幅圖像內(nèi)發(fā)生在各個(gè)尺度上的邊緣。Canny邊緣檢測的多尺度方法就是組合利用多個(gè)不同尺度的Canny檢測算子進(jìn)行邊緣檢測。

從尺度空間的觀點(diǎn)來說，Canny邊緣檢測的多尺度方法等價(jià)于在一個(gè)高斯線性尺度空間中進(jìn)行Canny最優(yōu)算子的邊緣檢測。該尺度空間用高斯函數(shù)作為濾波器，雖然高斯平滑具有良好的尺度性能及容易計(jì)算的特點(diǎn)，但是高斯平滑是一種線性低通濾波，這種濾波會(huì)導(dǎo)致一些邊緣模糊，使原圖像出現(xiàn)過度平滑及邊緣移位現(xiàn)象，不利于圖像的邊緣檢測。筆者用非線性的小波尺度空間代替高斯尺度空間作邊緣檢測，就能避免上述問題，獲得更好的邊緣檢測結(jié)果，得到本文的小波尺度空間中的邊緣檢測算法。新算法的具體步驟如下：

根據(jù)小波尺度空間的定義，對(duì)尺度進(jìn)行等間距采樣。尺度是產(chǎn)生小波尺度空間在該尺度上的圖像時(shí)所用閾值的兩倍。

(2)獲得邊緣強(qiáng)度映射

先用迭代的平移不變小波閾值產(chǎn)生(1)中尺度集合上的小波尺度空間；然后在每個(gè)尺度上，作高斯導(dǎo)數(shù)得到邊緣強(qiáng)度。假設(shè)f′_k(r，c)， k=0，1，…，K-1表示圖像f(r，c)在尺度σ^k的邊緣強(qiáng)度。

(3)組合邊緣強(qiáng)度

通過簡單的加權(quán)求和組合不同尺度上的邊緣強(qiáng)度，即

其中，w_k是尺度σk上的加權(quán)。關(guān)于權(quán)值w_k的取法:①權(quán)值w_k取均值，即w_k=1/K，此時(shí)各個(gè)尺度檢測的邊緣對(duì)最終邊緣貢獻(xiàn)一樣大，適合于無噪聲或噪聲較小的圖像；②對(duì)于含噪的圖像，為了更好地濾除噪聲得到最佳的邊緣圖像，取非均值權(quán)值。其基本原則根據(jù)不同尺度抗噪性能的不同來確定。大尺寸的閾值濾波去除噪聲能力強(qiáng)，小尺寸的閾值濾波去噪聲能力弱，因而可將大尺度的權(quán)重取得大一些，小尺度取得小一些。以下算法定量地給出了不同尺度下的權(quán)值：

這樣，所取的權(quán)值與圖像差值成反比，大尺度下加權(quán)因子取得大一些，小尺度下取得小一些，得到抗噪性能和細(xì)節(jié)保持兼顧的良好邊緣。

(4)非最大運(yùn)算方法

式（2）結(jié)果中的山脊就是圖像的邊緣，因此可以采用非最大運(yùn)算方法[4]提取圖像的邊緣點(diǎn)。不是局部峰值的梯度值設(shè)為零。找到邊緣點(diǎn)連接的集合。設(shè)a₁，…，a₈是像素a的3×3鄰域上的像素值，即

這樣得到的圖像邊緣較厚，采用文獻(xiàn)[9]的方法對(duì)所得到的圖像邊緣進(jìn)行細(xì)化。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)束語

在實(shí)驗(yàn)中，使用兩幅灰度圖像，即標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像（256×256）和一個(gè)屋頂圖像（128×128）。為了檢測新邊緣檢測方法的性能，筆者把該方法檢測的邊緣與Canny邊緣檢測的多尺度方法的結(jié)果進(jìn)行比較。對(duì)高斯尺度空間的尺度進(jìn)行指數(shù)采樣，取底數(shù)為1.1。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像采用上述兩種方法進(jìn)行邊緣檢測，這是一幅邊緣較復(fù)雜的自然圖像。取最小尺度為0.5，尺度間隔Δσ=0.05，所用的迭代數(shù)為15。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

可以看出，Canny檢測的多尺度方法提取的邊緣圖像不連續(xù)，丟掉了圖像的細(xì)節(jié)信息；文中方法得到的圖像邊緣效果較好，包含更多的圖像細(xì)節(jié)，如眼睛、帽檐及帽子頂部。帽子上的裝飾顯得更加真實(shí)。

為了檢驗(yàn)文中方法的抗噪聲能力，對(duì)屋頂圖像分別加方差為0.05和0.1的高斯白噪聲，然后采用上述兩種方法進(jìn)行邊緣檢測。取最小尺度為0.5，尺度間隔Δσ=0.15，所用的迭代數(shù)為15。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2和3所示。可以看出，文中方法得到的圖像邊緣效果較好，抗噪聲能力較強(qiáng)。對(duì)噪聲圖像用文中方法進(jìn)行邊緣檢測時(shí)，應(yīng)該取尺度間隔大一些，這樣有利于去除噪聲。

一般來說，采用越多的尺度進(jìn)行邊緣檢測得到的邊緣圖像就越準(zhǔn)確，越能保留更多的細(xì)節(jié)。但是當(dāng)尺度數(shù)目達(dá)到一定程度時(shí)，圖像邊緣再也沒有明顯的提高。

對(duì)于含少量椒鹽噪聲的圖像，文中方法比Canny邊緣檢測的多尺度方法稍有優(yōu)勢。

從尺度空間的觀點(diǎn)來說，Canny邊緣檢測的多尺度方法等價(jià)于在一個(gè)高斯線性尺度空間中進(jìn)行Canny最優(yōu)算子的邊緣檢測。該尺度空間用高斯函數(shù)作為濾波器，雖然高斯平滑具有良好的尺度性能及容易計(jì)算的特點(diǎn)，但是高斯平滑是一種線性低通濾波，這種濾波會(huì)導(dǎo)致一些邊緣模糊，使原圖像出現(xiàn)過度平滑及邊緣移位現(xiàn)象，不利于圖像的邊緣檢測。用非線性的小波尺度空間代替高斯尺度空間作邊緣檢測，獲得更好的邊緣檢測結(jié)果，得到本文的小波尺度空間中的邊緣檢測算法。在小波尺度空間中可以提取圖像在不同尺度下的邊緣，再經(jīng)過合成及非極值運(yùn)算，得到較好的圖像邊緣。對(duì)于含噪聲圖像，生成小波尺度空間的平移不變小波閾值是一種非線性濾波，能夠在小尺度下保留細(xì)節(jié)，在大尺度下去除噪聲。總之，該算法避免了整體性平滑可能帶來的邊緣模糊，既抑制了圖像中的噪聲，又保證了較高的邊緣定位精度。

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