三角形內角和的探索

小學里我們已經用拼圖(如圖1)的方法得出:

三角形3個內角的和等于180°.

現在我們一起來探索證明這一結論的其他方法.

方法一：如圖2（1），木條a與木條b平行，則有∠1+∠2=180°.

如果將木條a繞點A轉動，使它與木條b相交于點C，如圖2（2），則∠2被分成兩個角∠3和∠4，由平行線的性質知∠4=∠5.于是，在△ABC中，有∠1+∠3+∠5=∠1+∠3+∠4=∠1+∠2=180°.

由此可見，利用平行線可以探索出三角形的內角和，但在圖1（1）的△ABC中并不存在平行線，怎么辦？我們可以添加平行線達到目的.

方法二：如圖3，延長BC到D，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊，作∠1=∠A，于是CE∥BA，得∠B=∠2.

又因為∠1+∠2+∠ACB=180°，

所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

方法三：如圖4，過點A作EF∥BC，則∠1=∠B，∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°，

所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

方法四：如圖5，過點A作EF∥BC，延長BA、CA，則∠1=∠C，∠3=∠B.又∠2=∠BAC，∠1+∠2+∠3=180°.所以，∠BAC+∠B+∠C=180°.

方法五：如圖6，在BC上取點D，連結AD，則∠BAC=∠1+∠2.過B作BE∥AD，過C作CF∥AD，則BE∥CF.

所以∠1=∠3，∠2=∠4.

而∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°.

方法六:如圖7，在BC上任取一點D，過D作DE∥AB，與AC交于E，作DF∥AC，與AB交于F，則∠1=∠C，∠2=∠B，∠3=∠4，∠4=∠A.易知∠3=∠A，而∠1+∠2+∠3=180°，故∠A+∠B+∠C=180°.

當然D點也可以取在三角形的內部，請同學們自己證明.

以上幾種方法（除方法五外）是在把三角形紙板的三個內角剪下拼在一起，構成一個平角的實驗基礎上產生的，特點是添作平行線，運用平行線的性質以及等量代換而完成證明.下面還有一種十分有趣的方法，不直接從內角考慮，而從外角入手，運用運動的觀點來解決問題.

方法七：如圖8，設AB邊上任一點P處有一個人，面向B點前進，到達B點后轉動一個角度∠1，面向C點前進，到達C點后再轉動一個角度∠2，再面向A點前進，到達A點后再轉動一個角度∠3，最后又回到P點，仍面向B點站立，那么這個人在這個過程中共轉了一周，即∠1+∠2+∠3=360°.

而∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC.

所以∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

你還有其他方法嗎？請把你的想法寄到《初中生世界》編輯部來，與大家進行交流.

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