數學教學在變換中創新

近幾年各地高考題在考查知識的同時，也加大了對學生思維能力的考查.許多問題需要考生憑借靈活的思維去獨立解決，這顯然不是題海戰術所能應付得了的.培養學生通過自我的獨立思維解決問題的能力應始終是數學課堂教學的出發點，也是落腳點.為此，在平時的教學中，教師不僅要精心選題，更要善于變換問題，讓學生學會舉一反三的思維方法，觸類旁通，提高教學質量.

一、逆向變換

所謂逆向變換，是指將已知條件與未知條件進行轉換，或將一些數學概念、定理、公式進行逆向應用.

例1：已知一個三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，證明頂點P在平面的射影是底面ABC的垂心.

變換：如果一個三棱錐P-ABC的頂點P，在底面ABC的射影是垂心，能否推出三條側棱是否兩兩垂直？

通過這種變換，可使學生進一步明確三組對棱兩兩垂直與三條對棱兩兩垂直的區別以及兩條件的強弱，從而澄清某些模糊認識.

例2：已知數列{An}是等比數列，且s₃、s₉、s₆成等差數列，證明a2、a₈、a₅成等差數列.

變換1：已知數列{An}是等比數列，且a₂、a₈、a₅成等差數列，判斷s₃、s₉、s₆成等差數列.

變換2：已知數列{An}是等比數列，則s₃、s₉、s₆成等差是a₂、a₈、a₅成等差的什么條件?

逆向變換對于鍛煉學生的逆向思維具有很大作用，特別是對于一些概念的判斷題.

二、類比變換

類比變換是由數學問題甲聯想到與它類似的某個問題乙，然后根據乙所具有的某種性質，來判斷或確定甲所具有的性質.需要引起警惕的是類比變換前后的問題形式上往往具有某種相似性，但卻有可能是本質上完全不同的兩個問題，此時特別需要防止出現負遷移現象.

例3：求曲線y=x³+3x在點P(-2，-14)處的切線方程.

解：因原題中的點在曲線上，故所求切線方程的斜率為k=f(-2)，所以方程是y-f(-2)=f(-2)(x+2)，即15x-y+16=0.如果上課僅到此為止，學生根本不感興趣，也失去了該題潛在的解題功能.現做一下微小變動：

變換：求過點p(-2，1)且與曲線y=x³+3x相切的切線方程.

學生的解答幾乎如出一轍:

錯解：由f(x)=3x²+3得切線的斜率為k=f(x)，則過點p(-2，1)的曲線方程為y-1= f(-2)（x+2），即y=15x+31.

不必考慮a與1的大小關系，但在不等式兩邊同時取對數需要考慮a與1大小，當底數a大于1時，那么取對數之后不等號方向不變，否則不等號方向改變.即取對數前后不等號方向可相同亦可不同.利用這種變換可以使學生打破思維定勢，糾正負遷移帶來的錯誤.

例5：五條線段的長度分別為1，3，5，7，9，從中任選3條，求能構成三角形的概率.

變換1：五條線段的長度分別為1，3，5，7，9，從中任選3條，求能構成銳角三角形的概率.

變換2：五條線段的長度分別為1，3，3，5，7，從中任選3條，求能構成三角形的概率.

對于原題及變換1，可讓學生進一步明確構成三角形以及銳角三角形所要滿足的不同的條件.而對于變換2，能使學生澄清有關模糊認識：雖然所取三條線段1，3（1），5及1，3（2），5的長度相同，但屬于不同取法.

三、延伸變換

延伸變換是指在原問題上進一步挖掘、深化.如果習題教學僅限于解決此題，就容易形成教學封閉，難以發展學生的思維能力，而習題的延伸變換可以培養學生的發散性思維能力.但在教學中要注意延伸得當，要顧及學生的接受能力.

例6：在橢圓x²/a²+y²/b²=1上求一點P，使它到兩焦點連線互相垂直.

對于該例題，我們可以進行如下分析：是不是任意橢圓上都存在點，使它到兩焦點的連線互相垂直？由此延伸得到如下習題：

變換1：已知橢圓x²/a²+y²/b²=1上存在點P，它到兩焦點連線互相垂直，那么這樣的點可能有幾個？

變換2：已知橢圓x²/a²+y²/b²=1上存在一點P，它到兩焦點連線互相垂直，求離心率的范圍.

變換3：證明橢圓x²/a²+y²/b²=1上存在點P到兩焦點連線互

變換4：已知P是橢圓x²/a²+y²/b²=1上一點，求∠F₁PF₂的最大值及取得最大值時點的位置.

通過對例6的延伸、演變，可使學生始終處于愉快的探索狀態，從而調動了學生的積極性，啟發了學生的思維，提高了學生的解題能力和數學素質，同時亦將與該問題相關的內容研究得十分透徹.這種變換經常應用于對課本例題的深入研究.我們常說高考題源于課本，主要有兩種方式，一種是原型題，即將課本中的例題原封不動或稍作改編作為試題，另一種是演變題，即以課本中的例題為背景，采用科學的方法變換出來的真命題.我們上面所講的延伸變換就是第一種方式.

四、增障變換

在原問題中，設置一些干擾原問題解決的障礙因素，這種變換方式稱為增障變換.這些干擾因素有些使問題的解決變得不具體，有些是多余刺激.這些都增加了解決問題的難度，但這種變換能夠鍛煉學生的審題能力和排除障礙能力，同時亦能增強學生思維的嚴謹性和解題的嚴密性.

當然，習題的變換遠遠不止這幾種，只要在教學中不就題論題，能對問題進行合理的、有針對性變換或進行適當延伸，就一定能夠激發學生的學習興趣，充分培養學生的思維能力，同時也大大提高教師的教學水平.

（作者單位：江蘇省如皋市江安中學）

編輯/張燁