類比歸納 合情推理

中學數學學習是一種特殊的認知活動，比其他任何一門學科的學習都具有構建性、自主性、創造性.加強合情推理的教學 ，是提高學生素質的必然要求，也是培養學生發現能力的有效途徑.

怎樣培養學生的合情推理能力，其途徑是什么？數學教學應遵循“既教證明，又教猜想”，即“通過合情推理提出猜想，利用演繹推理證明猜想的正確或錯誤”.我認為合情推理能力的發展不同于一般知識與技能的獲得，它是一個緩慢的過程.而且有著自身的特點和規律：它不是教師“教會”的，而是學生自己“悟”出來的.因此，培養學生合情推理能力的根本途徑就是教師在教學中努力給學生提供探索與交流的空間，引導學生“經歷觀察，實驗，猜想，證明等數學過程”，即教師通過認真鉆研教材，挖掘教材，按照建構主義的理論，對教學內容，學習環境，師生行為等進行預測，把教學內容設計成一系列的具有探索性的問題，努力為同學們創造出一種環境，讓學生在“探索，猜想，交流”的過程中，在親身“做數學”的“實際操作”中，使自己的合情推理能力“不知不覺”地提高發展.

例：中學數學中的“平方差公式”的教學可以設置如下的問題串，引導學生不斷地進行思考與探索.計算并觀察下列每組算式：已知 25×25=625 ，那么24×26=？你能舉出一個類似的例子嗎？從以下算式中你發現了什么規律？你能用言語敘述這個規律嗎？你能用代表式表示這個規律嗎？你能證明自己所得到的規律嗎？

8×8=64 5×5=25 12×12=144

7×9=63 4×6=24 11×13=143

學生在這些問題的引導下，其探索過程可分為以下3步 ：

（1）在對具體算式的觀察比較中，通過合情推理得出猜想.

（2）把所得的猜想用數學符號表達出來：如果a×a=m，則(a-1)(a+1)=m-1.

（3） 用多項式的乘法法則證明猜想是正確的.

于是，學生就完成了對“平方差公式”的認知任務.學生對“平方差公式”的掌握顯然不是教師“講”的，而是學生自己“發現”的，這樣他們對“平方差公式”的“感情”、“印象”要比教師直接講出來“深”得多.

例：用“棋子擺成的小屋子”找規律（義務教育課程標準實驗教科書《數學》七年級下冊第一章）.我把這節課改成了活動課.先提出活動要求：第一步，先獨立觀察，盡可能多地用不同的方法解題，并能說出你如何知道自己做的是對的；第二步，小組交流解法；第三步，全班展示成果；第四步，你能通過這道題目的解決過程得出一個規律嗎？你能知道第100個這樣的“小屋子”有多少枚棋子嗎？第五步，你對這類的“找規律”，還有什么想法?從后來幾次測試結果可以看得出與其他班相比，學生對“找規律”的內容掌握得非常好.在以上整個教學中的成功之處可以總結如下：（1）通過第一步中的教學，培養學生觀察與實驗的好習慣.著名的生物學家巴甫洛夫實驗室的外墻上赫然寫著：“觀察、觀察、再觀察.”前蘇聯著名的心理學家、教育家贊科夫根據他對學習落后學生的長期研究發現，“后進生”的普遍特點就是觀察能力差.可見，觀察對人的學習和成長是何等的重要.培養敏銳的觀察力是提高數學思維水平的一個重要方面，引導學生明確觀察的目的和要求，善于變換不同的思維角度去抓住問題的特征，形成數學直覺去解決問題.而實驗又總是和觀察相聯系的，觀察常?？捎脤嶒炞龌A，而實驗又可以使觀察得到的性質或規律得以重現和驗證.而很多學生往往欠缺的就是驗證.（2）讓學生展開聯想和猜想，從圖形這個思維角度對“小屋子”進行不同的“分割”，從而得到不同的解題方法.（3）在第二、三步中，強化了前面的思想和方法，并發散和豐富了每位學生的思維.通過前三步中學生展示的8種方法，我引導他們分析比較這8種方法，致使他們發現：原來他們只是從圖形和數據兩個思維角度解決問題的.這就培養了學生比較與類比、分類討論、數形結合等思想方法.（4）在第四步中，學生發現，依次多6枚棋子，于是得出第n個這樣的“小屋子”有（6n-1）枚棋子，接著求得第100個“小屋子”所用的棋子數.在第五步中，學生想到本題中每個“小屋子”的棋子數依次相差6枚，而n的系數恰好為6，那么學生接著會想：如果依次相差m枚呢？n的系數應該是m.至于常數項為什么數，只需用第一個“小屋子”檢驗即可.這就得出了解決類似“找規律”問題的方法，這也使學生的思維有了深度.在這兩步中，培養了學生一般化與特殊化的思想方法.在以上的教學過程中，也增強了學生獨立思考能力、合作探究能力、觀察能力、分析能力、思維能力和歸納能力等.小結時，我引導學生總結了本節課中用到的思想方法，學生已能結合過程說出來.就這樣，在教學中，我善于抓住思想方法教學的“典型課”，培養學生感受和運用數學的思想和方法.

我們的教學如果能做到盡量把教學內容以“問題”的形式展示給學生，引導他們對所給的問題進行觀察、分析、實驗、猜測、驗證，那么學生的合情推理能力必將得到空前的提高.知覺猜想思維同邏輯思維一樣，是人類的基本思維模式，雖具有反常規律的創造功能，具有突破傳統思想的開拓功能，但又有嘗試的特點，因而結論具有似真性.因此，在分析解決數學問題時，只要悉心洞察，留意捕捉，及時深化，將直覺思維同邏輯思維有機地滲透結合起來，相互補充才能相映成輝，也只有這樣才能不斷地提高直覺思維能力，使學生思維更具有創造性，發現能力更強.

（作者單位：哈爾濱師范大學）

編輯/張燁