數學危機是會下金蛋的鵝（上）

舊世紀，法國大思想家狄德羅(Diderot，1713-1784)坦言：“任何研究工作的開端，幾乎都是極不完善的嘗試，為了尋求真理，我們是注定要經過挫折和失敗的。”君不見，成就輝煌的數學家如畢達哥拉斯、牛頓和萊布尼茲者，在他們初創的數學理論之中，都潛藏著危機和矛盾。但危機和矛盾也是讓數學進一步發展的動力。歷史上的第一次數學危機產下了無理數這枚金蛋，第二次數學危機產下了現代微積分這枚金蛋。

1．第一次數學危機——發現無理數

畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—公元前500)，是古希臘七賢之一，另外六位是泰勒斯、柏拉圖、蘇格拉底、亞里士多德、歐幾里德、阿基米德。他們七位都是當時世界上最有學問的人，這些人熱衷于政治和哲學，兼善數學。畢達哥拉斯在意大利南部的克倫吞成立了一個集科學、宗教與哲學于一體的學術團體，即“畢達哥拉斯學派”。該學派致力于數學的抽象化，努力把數學變成一門高雅的藝術，他們的學說在數學史上具有里程碑意義。畢達哥拉斯后來在政治斗爭中失敗被殺。

畢達哥拉斯學派在科學上的信條是“萬物皆數”。他們所說的數是正整數和正分數，當時的人們篤信，除了自然數和正分數之外，不可能存在別的數。

據傳畢達哥拉斯學派發現并證明勾股定理之后，當即宰牛百頭拜天祭神，因此后人也稱勾股定理為“百牛定理”。

約公元前470年，畢達哥拉斯學派骨干成員，畢的得意門生、著名數學家希帕蘇斯(Hipasus)考慮邊長為1的正方形的對角線的長度，根據勾股定理：對角線長l應滿足l²=2，因為1²=1，2²=4，所以l不是整數，而下面的推理卻證明了l不是分數：

此事證明，畢達哥拉斯“萬物皆數”的數只是整數與分數的觀點是荒謬的。畢達哥拉斯的絕對權威受到了致命的打擊。

一方面亞里士多德已嚴格證明正方形對角線的長不是整數與分數，按畢達哥拉斯學派的觀點，這條對角線的長度就不是數!這當然連傻瓜也不能接受。另一方面，當時數學界認為畢達哥拉斯學派關于數的理論絕對正確，人們不敢承認正方形對角線之長不是有理數。這就是第一次數學危機。

傳說當時畢達哥拉斯學派的全體成員正在愛琴海泛舟，為勾股定理的發現和證明而彈冠相慶，希帕蘇斯貿然提出他的上述發現，該學派其他成員聽到這一犯上作亂的消息，個個嚇得目瞪口呆，當即決議禁止把此事泄露出去，泄密者斬。后來希帕蘇斯還是把它透露給自己的朋友，結果按畢達哥拉斯學派的規矩，被該派成員投入大海，葬身魚腹!相傳希帕蘇斯身高1．41米，體重141磅，恰為 的化身。

希帕蘇斯是“科學的祭品”，歷史總是證明真理會獲得勝利，在神圣的數學王國的宮墻上，永遠銘刻著希帕蘇斯的名字。

第一次數學危機毋庸置疑地承認除整數和分數之外，還存在另外的實數。或許是由于對這種陌生實數的接受并不情愿，人們給它起了個不無歧視的名字：無理數。

2．第二次數學危機——催生現代微積分

感謝牛頓和萊布尼茲，他們為后人開創了一個微積分的天堂。毋庸諱言，在牛萊二位圣賢的原始創新之中，的確存在著不可接受的邏輯漏洞，由此引發了驚心動魄的第二次數學危機。

1734年，英國著名哲學家伯克萊(Berkeley．1685—1753)發表了在數學史上曾引起軒然大波的《分析學家，或致一位不信神的數學家》一一文，將主要矛頭指向牛頓的流數(現稱為導數)方法，對萊布尼茲的微積分也同樣竭力非難。

伯克萊的發難(且不論其動機為何)擊中了牛頓時代微積分不嚴謹的要害，客觀上促進18世紀、19世紀的數學家為數學分析的嚴格化進行了卓越的工作。

從高中數學課本中，我們知道y=xⁿ的導數(當時牛頓稱為流數)是nx^n-1，就是這種命題引發了第二次數學危機。

伯克萊寫道：

“流數方法是一把通用的鑰匙，當代數學家們是借助它來解開幾何學的、最終也是大自然的奧秘。這一方法使數學家們能夠在發現定理和解決問題方而大大超越古人。正因為如此，其發揮、應用便成為^今那些號稱深刻的幾何學家們主要的(如果不是唯一的)事業。然而這些方法究竟是否清楚，是否沒有矛盾并且加緊以加以證明?或者相反，只是一種含糊的、令人反感的和不可靠的方法?我將以最公正的方式來提出這樣的質疑，以便讓你們，讓每一位正直的讀者做出自己的判斷。

牛頓先生推導任意次冪的流數的方法如下：設量x均勻地流動，欲求xⁿ的流數，與x通過流動變為x+o的同時，冪xⁿ變成(x＋o)ⁿ，

現令增量o消失，他們的最終比為1：nx^n-1。

然而這種推理看來是不合理和不能令人信服的。因為如果讓增量消失，亦即讓增量變為零，或者說沒有任何增量，那么原來的關于增量存在的假設也就不能成立，而這一假設引出的結果即借助于增量而得到的表達式卻必須保留，這種推理是站不住腳的。因為我們如果假設增量消失了，理所應當也就必須假設它們的比、它們的表達式以及由于假設其存在而導出的一切東兩都必須隨之消失。

伯克萊一不做二不休，對萊布尼茲也進行了不留情面的批評：“萊布尼茲及其追隨者，在進行微積分運算時，竟從不臉紅地首先承認然后舍棄無窮小量，稍具思考能力的人，在理解時仔細一點，在推理時公正一點，就不會接受他這些謬論。”

支持牛頓(Newton，1643-1727，英國)與萊布尼茲(Leibniz，1646-1716，德國)的多位數學家奮起反擊，寫了不少反駁伯克萊的文章，但仍然不能把當時微積分中的癥結搞清楚。一時間，伯克萊的“反微積”言論占了優勢。事實上伯的許多批評確實指出了當時微積分在邏輯上與基礎理論上存在的漏洞。牛頓在推導礦的導數是nx^n-1時，偷換了假設，先說增量。做分母，此即假設了o≠0，接著就說令。消失，此即把o≠0的假設偷換成了o=0，這種論述是自相矛盾的，在數學論證中決不允許這種現象存在。為牛頓與萊布尼茲的辯護失敗，此即歷史上的第二次數學危機。

第一次數學危機使我們有經驗地說，悖論和數學危機并非什么可怕的事，它恰是數學進展的重要機遇，是即將有重大突破的先兆。第二次數學危機讓18、19世紀的眾多數學家為微積分的完善做了大量的工作，促使微積分日臻完善，催生了現代微積分這枚金蛋，排除了第二次數學危機。

(中國科技大學科技傳播系的王國燕老師對本文的撰寫提供了許多有益的建議，特表感謝。)

作者簡介：王樹禾。中國科學技術大學教授。微分方程與應用教學專家。數學科普賢作家。出版了《教學聊齋》、《數學演義》、《數學思想史》等著作，主持編寫了高中教學新教材中“數學史”部分的內容。

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