數學危機是會下金蛋的鵝（下）

20世紀最偉大的數學家之一龐加萊(Poincare，1854—1912，法國)敏銳地指出：“邏輯并非不毛之地，它那里生長著矛盾。”即使成就輝煌的大數學家康托爾，在他首創的理論之中也蘊含了危機和矛盾。歷史上的第三次數學危機產生了“公理集合論”這一數學分支，而哥德爾的不可判定理論推翻了曾經統治數學的“希爾伯特綱領”。

3．第三次數學危機——產生公理集合論

悖論不是謬論，悖論中充滿著令人驚奇的內容——悖論可以推導出自相矛盾的結論，人們卻不能指出悖論非法的理由。

集合是數學最基本的概念之一，也是整個數學大廈的基礎，當今數學的每個分支都在使用集合論的言語進行表述與推理。

集合概念的建立，起首要作用的人物當屬德國大數學家康托爾，他是大家公論的集合論的創始人。

康托爾(cantor，1845-1918)，生于俄國彼得堡的一個猶太富商之家。他17歲入蘇黎世大學，后轉入格丁根大學和法蘭克福大學，1866年獲得博士學位，1879年任哈雷大學教授。1891年，康托爾組建德國數學家聯合會，被選為第一任主席。1904年，倫敦皇家學會授予他當時數學界最高榮譽——西爾威斯特(Sylvester)獎章。

康托爾的老師克羅內克是一個“有窮論者”，他反對康托爾的“超窮數”觀點，他不僅對康托爾的學術工作粗暴攻擊，還竭力阻止康托爾去柏林大學工作。由于克羅內克的權威地位，其他數學家也跟著他攻擊康托爾，致使康托爾患上嚴重的精神病，并于1918年死于抑郁癥。康托爾的下場不比古希臘的希帕蘇斯好多少，兩位數學史上的功臣都為了事業而犧牲。

康托爾這個人是數學界的奇才，對數學的新奇思路和獨特創造，使他成了當時數學界頗有爭議的人物。他用“一一對應”的原理突破了“整體大于部分”這個天經地義的舊觀念，例如全體正整數與全體正偶數一一對應，稱正整數集與正偶數集等勢，相當于傳統的“個數相等”。

1871年康托爾給出集合的第一個樸素定義：“把一定的并且彼此可以明確識別的事物——這種事物可以是直觀的對象，也可以是思維的對象——放在一起，成為一個集合，這些事物的每一個稱為該集合的一個元素。”

在之后的工作中，康托爾已經察覺到他的這種樸素集合論在邏輯上要出事兒，他向數學家戴德金談過禁提“一切集合組成的集合”。可惜他本人沒有來得及建立一套公理系統，給出明確無誤的集合論概念。

1902年，英國數學家羅素受到“理發師悖論”的啟發，提出一個所謂的“羅素悖論”。

理發師悖論說：“一個理發師宣稱，他不給自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉。”人們問：“理發師先生，您自己的臉誰刮?”如果理發師回答自己刮，那么違背了約定的前半部分；如果回答不是自己刮，那么按他約定的后半部分，他必須給自己刮臉。理發師不可能自圓其說。

羅素假設，集合A由一切不屬于這個集合的元素所組成，然后問A是否屬于該集合?對這個看似簡單的問題，怎樣回答都會陷入矛盾的境地。如果承認A屬于集合A，根據該集合的定義，A是不能屬于A的；反之如果否認A屬于集合A，同樣根據該集合的定義，A就必須屬于A。

矛盾回避不了啦!康托爾的樸素集合論里發生了嚴重的邏輯混亂，于是出現了第三次數學危機。德國數學家、邏輯代數的創始人弗雷格抱怨說：“當大廈即將竣工之時，基礎卻崩潰了!”

1908年，法國數學家策墨羅(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)合作提出一套所謂ZF公理，創建公理集合論，從集合論中剔除了羅素悖論，解除了第三次數學危機。第三次數學危機催生了“公理集合論”這一重要數學分支，使得數學基礎更加鞏固了。

在公理集合論中，到目前為止還沒有發現任何悖論或矛盾，策墨羅宣稱沒有任何人會從中再制造出矛盾來。龐加萊則反唇相譏道：“為了防備狼，羊群已用籬笆圈起來了，卻不知圈里還有沒有狼。”

1925年，希爾伯特自豪地說：“我們曾親歷過兩次危機，頭一次是微積分悖論，第二次是集合論悖論，我們不會再經歷第三次，而且永遠不會。”他顯然過于樂觀了。1930年數學家貝爾說：“所謂建立在數學基礎上的合理共識，在任何意義上都是不存在的。”

貝爾的話是對的。三次數學危機之后，數學界果然又發生了更令人難堪的矛盾。

4．數學的家丑——真假不可判定

公元前6世紀，希臘人伊比孟德說：“我說這句話時正在說謊。”伊翁問聽眾，他下面說的那句話是真話還是假話？該怎么回答伊翁呢？

當代數學史上有個大人物叫做哥德爾，1906年他出生于奧地利布呂恩城，1924年他考入維也納大學攻讀理論物理專業，1930年獲哲學博士學位。其代表作是1931年發表的《論‘數學原理’及有關系統中的不可判定命題》，該文被譽為“20世紀最有意義的數學真理”。

哥德爾的不可判定命題對數學基礎進行嚴肅的挑戰。一個命題就是一種判定，不論是否已經知道它的真假，總歸或真或假，二者必居其一。例如“秦始皇是20世紀的中國皇帝”是一個命題，“2+2=4”則是另一個命題。顯然假命題是不可證明的。

1931年哥德爾提出如下的命題：

A：A不可證。

下面證明了哥德爾命題A與其否定命題A┐(讀成“非A”)皆不可證明。

(1)A真

事實上，若A假，即“A不可證”為假，于是A可證，從而A假且A可證，此與假命題不可證明矛盾，由反證法知A真。

(2)A不可證

若A可證，則“A不可證”為假，即A假，與(1)中得到的A真相違，所以A不可證。

(3)┐A不可證

由(1)知A真，于是┐A是假的，而假命題不可證，所以┐A不可證。

由(2)與(3)知A與┐A同時不可證，即對于命題A，不可證明也不可反駁，其真假不可判定!

數學家克服了三次數學危機，鞏固了數學的基礎，建立了豐功偉績。數學界一派樂觀情緒，甚至認為凡能用數學語言明確提出的問題，都必須而且能夠嚴格地加以證明或證偽，誰也沒想到會存在不能證其真也不能證其偽的命題。大數學家希爾伯特1930年發表《數學的基礎》一文，提出聞名于世的“希爾伯特綱領”，其要點有二：一是證明形式化(建立公理系統，使用形式語言)之后，一切數學系統內的定理都是可證的；二是證明形式化之后，數學系統是完備的，即一切數學真理都將是這個形式系統的定理。

哥德爾的不可判定命題如晴天霹靂無情地宣判了希爾伯特綱領的崩潰。

古今中外，多少人贊不絕口地歌頌著數學的完美、嚴謹與和諧。哥德爾則更令人肅然起敬，他并不因為自己是數學家而陶醉于數學光明的一面，他嚴正地揭露了數學不完備性的黑暗面，不忌諱數學的家丑。正如美國著名數學家克萊因所說：“數學的確定性正在喪失!”

一部充滿光輝成就的數學史，同時也是一部數學災難史，悖論和危機此起彼伏，矛盾和難題層出不窮……數學是美麗的，數學是丑陋的，它的丑與美都值得我們研究，都值得我們鑒賞。

(中國科技大學科技傳播系的王國燕老師為本文的撰寫提供了許多有益的建議，特表感謝。)

作者簡介：王樹禾。中國科學技術大學教授，微分方程與應用數學專家，數學科普作家。已出版了《數學聊齋》《數學演義》《數學思想史》等著作，主持編寫了高中數學新教材中“數學史”部分。