神奇的缺８數

“缺8數”——12345679，頗為神秘故許多人在進行探索。

清一色

菲律賓前總統馬科斯偏好的數字不是8，卻是7。于是有人對他說：“總統先生，你不是挺喜歡7嗎?拿出你的計算器，我可以送你清一色的7。”接著，這人就用“缺8數”乘以63，頓時，777777777映入了馬科斯先生的眼簾。

“缺8數”實際上并非對7情有獨鐘，它是“一碗水端平”，對所有的數都“一視同仁”的：你只要分別用9的倍數(9，18……直到81)去乘它，則11111111l，222222222……直到999999999都會相繼出現。三位一體

“缺8數”引起研究者的濃厚興趣，于是人們繼續拿3的倍數與它相乘，發現乘積竟“三位一體”地重復出現。例如：

12345679x12=148148148

12345679x15=185185185

12345679x57=703703703

輪流“休息”

當乘數不是3的倍數時，此時雖然沒有“清一色”或“三位一體”現象，但仍可看到一種奇異性質：乘積的各位數字均乇雷同。缺什么數存在著明確的規律，它們是按照“均勻分布”出現的。另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。

讓我們看一下乘數在區間［1017］的情況，其中12和15因是3的倍數，予以排除。

12345679x10＝123456790(缺8)

12345679x11＝135802469(缺7)

12345679x13＝160493827(缺5)

12345679x14＝172839506(缺4)

12345679x16＝197530864(缺2)

12345679x17＝209876543(缺1)

乘數在[19－26]及其他區間(區間長度等于7)的情況與此完全類似。

一以貫之

當乘數超過81時，乘積將至少是十位數，但上述的各種現象依然存在，真是“吾道一以貫之”。隨便看幾個例子：

(1)乘數為9的倍數

12345679x243＝2999999997，只要把乘積中最左邊的一個數2加到最右邊的7上，仍呈現“清一色”。

(2)乘數為3的倍數，但不是9的倍數

12345679x84＝1037037036，只要把乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的6上，又可看到“三位一體”現象。

(3)乘數為3K+1或3K+2型

12345679x98＝1209876542，表面上看來，乘積中出現雷同的2，但據上所說，只要把乘積中最左邊的數1加到最右邊的2上去之后，所得數為209876543，是“缺1”數，而根據上面的“學說”可知，此時正好輪到1休息，結果與理論完全吻合。

走馬燈

冬去春來，24個節氣仍然是立春、雨水、驚蟄……其次序完全不變，表現為周期性的重復。“缺8數”也有此種性質，但其乘數是相當奇異的。

實際上，當乘數為19時，其乘積將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數2卻成了開路先鋒。深入的研究顯示，當乘數為一公差等于9的算術級數時，出現“走馬燈”現象。例如：

12345679x28＝345679012

12345679x37＝456790123

回文結對 攜手同行

“缺8數”的“精細結構”引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：

12345679x4＝49382716

12345679x5＝61728395

前一式的積數顛倒過來讀(自右到左)，不正好就是后一式的積數? (但有微小的差異，即5代以4，而根據“輪休學說”，這正是題中的應有之義。)

這樣的“回文結對，攜手并進”現象，對13，14；22，23；31，32；40，41等各對乘數(每相鄰兩對乘數的對應公差均等于9)也應如此。例如：

12345679x67＝827160493

12345679x68＝839506172

遺傳因子

“缺8數”還能“生兒育女”，這些后裔秉承其“遺傳因子”，完全承襲上面的這些特性，所以這個龐大家族的成員幾乎都同其始祖12345679具有同樣的本領。

例如506172839是“缺8數”與41的乘積，所以它是一個衍生物。

我們看到，506172839x3＝1518518517。

如前所述，“三位一體”模式又來到我們面前。

追本窮源

“缺8數”實際上與循環小數是一根藤上的瓜，因為

1／81＝0．012345679。

在0．012345679中，為什么別的數碼都不缺，應有盡有，而唯獨缺少8呢?

我們看到，1／81＝1／9x1／9。

把1／9化成循環小數，其循環節只有一位，即1／9＝0．1。

如果你不怕麻煩，當然也可把它看成是0．1111……直到無窮。

無窮多個1的自乘，能辦得到嗎?不妨先從有限個1的平方來試試看。

很明顯：11的平方＝121，11l的平方＝12321，……，直到111111111的平方＝12345678987654321。

但現在是無窮個1相乘，長長的隊伍看不到盡頭，怎么辦呢?

利用數學歸納法，不難證明，在所有的層次，8都被一一跳過。

循環小數與循環群、周期現象的研究正方興未艾，它已引起許多人的濃厚興趣與密切關注。由于計算機科學的蓬勃發展，人們越來越不滿足于泛泛的幾條性質，而更著眼于探索其精微結構。