一道值得研究的思考題

作為一名數學教師，總有美好的期待，希望能用數學內在的魅力，深深地吸引學生去探索數學的奧秘，感受數學在生活中的廣泛應用，從而投身于數學研究。今年四月份，全國著名特級教師劉德武老師在寧波推出最新的觀摩課——“衛生紙的長度”。在課上劉老師用他精湛的教學技藝引導學生積極參與“做數學”的過程，探索衛生紙的厚度、圈數，并解決衛生紙的長度，他還特意花了二三分鐘時間用米尺測量出這卷衛生紙的長度。最后，劉老師意味深長地問：“我們為什么要用整整一節課的時間去探索只需二三分鐘就能解決的問題呢?而且得出的還是誤差很大的結果。”其中一位學生動情地說：“我認為今天得到的結果并不重要，重要的是我們學會探究的方法，體驗到了數學學習的價值……這節課我認為很有意義。”這一段精彩的對白在臺下聽課的老師中贏得了熱烈的掌聲，臺上、臺下產生了強烈的情感共鳴。

其實，數學的魅力就在于它具有誘人的美，而一道構思精巧的習題會讓你回味無窮。劉德武老師的“衛生紙的長度”這節課，使我回想起第六屆“華杯賽”復賽中一道耐人尋味的幾何題。這道幾何題原意是這樣的：

下圖是一卷緊緊纏繞在一起的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸。已知紙的厚度為0．4厘米，試求這卷牛皮紙展開后大約有多長?(π=3．14)

當時在數學活動課上向學生出示這道題目時，我預想得很簡單，按照一般的“演繹”思路“按部就班”地進行講解：這卷紙共有(20-8)÷2÷0．4=15(圈)，設這卷紙的總長為C厘米，每圈的長度分別為C₁、C₂、C₃……C₁₅₀

C₁≈π×(8+O．4×2)

C₂≈π×(8+0．4×4)

C₁₅≈πx(8+O．4×30)

C≈π×[8×15+0．4×(2+4+6+……+30)]

=216π

=678．24(厘米)

算到這里，該題已經解決了。沒有想到旁邊的一位學生提出異議：“老師，我覺得每圈牛皮紙的長度不應該這樣算。我覺得……”他邊說邊拿起講臺上的粉筆在黑板上畫圈，即◎。他接著解釋道：“每圈牛皮紙展開后的長度應比外圈的周長短，比內圈的周長長一些，取中間這部分(指著虛線)的長度才合理呀。”真有見解!我不由得鼓掌表揚他愛動腦筋，并接著問：“如果按你的想法，這道題該怎樣計算呢?”他自信地拿起粉筆在我原來的算式上改動起來。

C₁≈π×(8+0．4×1)

C₂≈π×(8+0．4×3)

……

C₁₅≈π×(8+O．4×29)

C≈π×[8×15+0．4×(1+3+5+……+29)]

=659．4(厘米)

“真聰明，每圈的直徑都少1個0．4厘米。”也許正是這位學生的大膽質疑引起了其他學生的思考，教室里頓時鴉雀無聲。這時，另一位學生舉手發言：“老師．這樣做是否太麻煩?我認為求15圈牛皮紙的總長度，不如先求出這15圈的平均長度，再乘以15。”我聽了不禁一愣。對呀!這15圈的長度其實就是等差數列，用中間數求和，是再方便不過了。

“你有什么高明的方法解決這15圈牛皮紙的平均數呢?”我反將他一軍。

他想了想說：“這卷牛皮紙共有15圈，第8圈的長度就是它們的平均數。”邊說邊神氣地在黑板上演算起來。

3．14×(8+O．4×15)＝43．96(厘米)

43．96×15=659．4(厘米)

厲害!我差點喊出聲來。此時，我真為我的學生感到驕傲。這道題就在我們師生互動中解決了。后來幾天，我也沒把這道題放在心上。一周過去了，上次第一次挑毛病的學生找到了我，悄悄地對我說：“老師，上次那道牛皮紙的題目，還有更簡便的方法。”我一下子被他吊起了胃口：“真的嗎?”他自信地點點頭，于是他拿出紙慢慢地畫了起來。他的大概意思就是將這卷紙全部展開后，它的正側面可以近似地看作一個長方形。這個長方形的長就是這卷牛皮紙的長度，寬就是牛皮紙的厚度，所以長方形的面積應近似地等于原來這卷牛皮紙的側面積(圈環的面積)。

紙的長度＝長方形的面積／長方形的寬

≈紙卷側面積／紙的厚度

＝3.14×10²-3.14×4²／0.4

＝659.4(厘米)

一語激醒夢中人!本來看似一道普通的數學題目。經過“化曲為直”的轉化后，變成一道求長方形長的題目，難度頓時化解，其道理與方法竟是如此的淺顯。此題將圈環轉化為近似長方形，這與課本中將圈環拉直為線段，將圓面割拼成近似長方形，將圓柱的側面展開成長方形的數學思想，竟有如此多的異曲同工之處。而這“化曲為直”的轉化思想正是我們探索曲線、曲面必備的數學思想與方法，我暗暗驚訝于學生豐富的想像力、敏銳的觀察力和大膽的創造力。接下來的好長一段時間，我陷入了沉思之中。

回顧探索這卷牛皮紙長度所經歷的過程，覺得此時。獲得問題的結果對我們來說已不重要了，重要的是師生們在思維的碰撞中，不斷豐富內心體驗。不斷積累數學感覺。作為一名數學教師，該拿什么奉獻給我們的學生?一道充滿靈性的數學題，不正如一把開啟智慧之門的鑰匙?讓我們的學生在探索數學問題中，不斷被數學的奧秘所吸引，不斷獲得成功的滿足和精神的愉悅。我想，這應該是這道思考題留給我們的另外一個思考吧!