三教“空瓶換汽水”

例題：廠家舉行某種汽水的促銷活動，每5只這種汽水的空瓶可以換1瓶汽水。在促銷期間，張叔叔購買了20瓶這個牌子的汽水，他最多可以喝到幾瓶汽水?

我最初是在二十世紀(jì)九十年代初教學(xué)這道題。出示例題后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試，然后組織學(xué)生匯報(bào)自己嘗試的結(jié)果。有學(xué)生說最多能喝到24瓶，因?yàn)閺埵迨搴韧赀@20瓶汽水后，用20只空瓶只能換20÷5=4(瓶)汽水，當(dāng)喝完換來的4瓶汽水后，空瓶只數(shù)只有4只而不到 5只，不能再換汽水了，所以他最多只能喝到20＋4=24(瓶)汽水；有學(xué)生說最多能喝到 25瓶，因?yàn)閺埵迨搴韧赀@20瓶汽水后，用20只空瓶能換 20÷5=4(瓶)汽水，當(dāng)喝完換來的4瓶汽水后，想辦法向商家或其他顧客借1只空瓶，與自己的4只空瓶湊成5只，剛好可以換到1瓶汽水，喝完這瓶汽水后，再把這只空瓶還給商家或其他顧客，所以他最多能喝到20＋4＋1=25(瓶)汽水。聽了兩個學(xué)生的匯報(bào)，其他學(xué)生都認(rèn)為張叔叔最多能喝到25瓶汽水，老師也強(qiáng)調(diào)，當(dāng)手中有4只空汽水瓶時(shí)，可以運(yùn)用“借一還一”的方法，再喝到一瓶汽水。然后把題中的條件“購買了20瓶”改為“購買了28瓶”，組織學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)。

第二次是在二十世紀(jì)九十年代后期教學(xué)這道題。同樣是出示例題后，教師先組織學(xué)生獨(dú)立嘗試，再讓學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)。在得出張叔叔最多能喝到25瓶汽水后，教師并沒有就此打住，而是追問：李叔叔在促銷期間，也購買了一些這種汽水，他連買帶換共喝了20瓶，李叔叔至少購買了幾瓶汽水?學(xué)生通過試驗(yàn)、比較，發(fā)現(xiàn)李叔叔至少購買了16瓶汽水。教師接著又追問：“如果張叔叔所在的單位購買了1980瓶這種汽水，最多可以喝到幾瓶?李叔叔所在的單位共喝了1980瓶這種汽水，他們至少要購買幾瓶?”學(xué)生通過嘗試發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用剛才逐步試驗(yàn)的方法，實(shí)在太麻煩了，產(chǎn)生想探求新的解題方法的欲望。教師啟發(fā)學(xué)生從“每5只這種汽水的空瓶可以換1瓶汽水”這個條件進(jìn)行分析、思考，尋找解決問題的捷徑。學(xué)生通過獨(dú)立思考、相互交流討論發(fā)現(xiàn)：如果把1瓶汽水分成1只空瓶和1瓶水兩部分，從“每5只這種汽水的空瓶可以換1瓶汽水”這個條件可以得出，5只空瓶可以換1只空瓶和1瓶水，也就是4只空瓶可以換1瓶水，得出1瓶水的價(jià)錢是1只空瓶的4倍，或1只空瓶的價(jià)錢是1瓶水的1/4。張叔叔購買了20瓶汽水，他最多可以喝到0＋20÷4=25(瓶)汽水。李叔叔連買帶換共喝了20瓶汽水，他至少要購買20÷(1＋1/4) =16(瓶)汽水。購買1980瓶汽水，最多可以喝到 1980＋1980÷4=2475(瓶)汽水；要喝980瓶汽水，至少需要購買1980÷(1+1/4)=1584(瓶)汽水。

第三次是在2004年下半年教學(xué)這道題。同樣是出示例題后，教師先組織學(xué)生獨(dú)立嘗試，再組織學(xué)生匯報(bào)。在得出張叔叔最多能喝到25瓶汽水后，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思自己的分析解題過程，總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)與方法，并思考你的解題方法適用于解答其他類似的問題嗎?請舉例說明。學(xué)生經(jīng)過思考、舉例、解答、分析、討論、交流發(fā)現(xiàn)，用剛才逐步試驗(yàn)的方法，解答數(shù)據(jù)比較小的問題時(shí)，比較方便；在解答數(shù)據(jù)比較大的問題時(shí)，再用這個方法太麻煩了，需要尋找其他解決問題的方法。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了空瓶與瓶中的汽水之間的關(guān)系，并能正確運(yùn)用這個關(guān)系，比較簡捷地解決問題。接著以四人學(xué)習(xí)小組為單位，每個學(xué)生輪流出1道這樣的題，四個人一起進(jìn)行解答與驗(yàn)證。在出題、解答過程中，碰到有什么疑問、意見，先記錄下來，再在小組中進(jìn)行討論、交流，小組內(nèi)不能解決的，提交全班進(jìn)行討論解決。學(xué)生在出題、解答的過程中遇到的最大困惑是，當(dāng)出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果有小數(shù)時(shí)，不知道該用什么方法處理計(jì)算結(jié)果。是用四舍五人法呢，還是用去尾法或進(jìn)一法？在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，學(xué)生通過舉例、演算、比較、歸納發(fā)現(xiàn)，當(dāng)已知購買瓶數(shù)求最多可以喝到幾瓶汽水時(shí)，要用去尾法處理計(jì)算結(jié)果，如購買21瓶汽水，最多能喝到21＋21÷ 4=26．25≈26(瓶)汽水；又如購買23瓶汽水，最多能喝到 23+23÷4=28．75≈28(瓶)汽水。當(dāng)已知共喝了汽水的瓶數(shù)求至少購買幾瓶時(shí)，要用進(jìn)一法處理計(jì)算結(jié)果。如共喝了22瓶汽水，至少要購買22÷(1＋1/4 ÷)=17．6≈18(瓶)汽水；又如共喝了23瓶汽水，至少要購買 23÷(1+1/4)=18．4≈19(瓶)汽水。

回憶與反思自己三次教學(xué)“空瓶換汽水”問題的經(jīng)歷，從側(cè)面可以反映出自己在教學(xué)中不斷成長的過程。第一次教學(xué)“空瓶換汽水”問題，是“一一對應(yīng)”式的、單向的教學(xué)，教師講學(xué)生聽，或一個優(yōu)秀的學(xué)生講其他學(xué)生聽，教師出題學(xué)生做，以學(xué)生能正確解答出這一道題為目的，訓(xùn)練學(xué)生能簡單模仿例題的解題方法解決類似問題的能力，沒有對解題策略、解題方法進(jìn)行概括和提升。這種“一一對應(yīng)”式的教學(xué)，教師把學(xué)生當(dāng)成解題的工具、接受知識的容器，也使教師忙于編題，學(xué)生苦于做題，師生共同陷入題海戰(zhàn)術(shù)的苦海之中，教學(xué)效率比較低。第二次教學(xué)“空瓶換汽水”問題，采用“題組教學(xué)”的形式，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)解題的方法，引導(dǎo)學(xué)生探索解決這類問題的規(guī)律，達(dá)到舉一反三的目的，提高了學(xué)生的解題能力。但這個比較、探索的材料和問題，仍是教師事先提供與設(shè)計(jì)好的，在引導(dǎo)學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)問題，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性方面，有待于進(jìn)一步改進(jìn)。第三次教學(xué)“空瓶換汽水”問題，教師秉著以學(xué)生為本的教學(xué)理念，積極引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，啟發(fā)學(xué)生思考解題方法的適用范圍，并組織學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證。在舉例驗(yàn)證過程中，學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)新問題，通過探索不斷解決新問題，從用逐步試驗(yàn)的方法到發(fā)現(xiàn)解題的規(guī)律，再對這個規(guī)律進(jìn)行完善。問題從學(xué)生中來，探索的材料由學(xué)生自己尋找，探索的方案學(xué)生自己設(shè)計(jì)，教師只是巧妙地引導(dǎo)學(xué)生對自己發(fā)現(xiàn)的解題策略、解題方法進(jìn)行概括和提升。學(xué)生學(xué)得積極主動，在掌握知識的同時(shí)，提高了主動學(xué)習(xí)、獲取知識的能力，促進(jìn)了學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

學(xué)生在變化，教學(xué)在發(fā)展，我們教師也要與時(shí)俱進(jìn)，不斷更新自己的教學(xué)理念、教學(xué)思想和教學(xué)方法，在幫助學(xué)生提高與發(fā)展的同時(shí)，也促進(jìn)自己的進(jìn)步與發(fā)展。