應用題的“列與解”

應用越的“列”是非常重要的，然而有很多耐人尋味、啟發思維、形式簡單的方程卻蘊涵在“解”的過程中，只有列出解法簡捷的方程，才是最佳列法，反之，也只有列出的方程形式最簡，其解法才最優。下面以初中代數課本中的習題為例，對“列”與“解”的辯證關系作一粗淺分析，供大家參考。

一、列中隱含有解，在解發掘隱含的等量關系

對于應用題，不能認為只要“列”山方程(組)來就行了，而忽視對它的“解”。事實上，“列”固然重要，但“解”也不可小視。有些隱含的等量關系就是在“解”中啟示我們而獲得的。

例1：從甲站到乙站有150千米，一列快車和一列慢車同時從甲站開出，1小時后，快車在慢車前12千米處；快車到達乙站比慢車早5分鐘。快車和慢車每小時各行多少千米?(《代數》第三冊 P50第4題)

解析：設慢車每小時走x千米，則快車每小時走(x＋12)千米，依題意易得

150／x-150／(x+12)二5／60

(1)

解方程(1)，得150x12／x(x+12)= 1／12

即150x12／(x+12)=x／12

(2)

方程(2)顯然比方程(1)要簡潔，我們在求解方程(1)的過程中受到啟示而發掘出來的等量關系，可見“列”中隱含有“解”，而“解”又啟發著我們的“列”。

二、解中孕育著列，在列中尋求最簡單方程

解題就是解決矛盾，矛盾的轉化是現實世界的普遍規律。通過“解”與“列”的轉化，使問題獲得最佳解法，是求解應用題中常用的數學思想方法。

例2：一個水池有甲、乙兩個進水管，甲管注滿水池比乙管快15小時，如果單獨開放甲管10小時，再單獨開放乙管15小時，就可注滿水池的2／3，求單獨開放一個水管，把水池注滿各需多少時間?(《代數》第三冊P51第7題)

解析：設單獨開放乙管注滿水池需 x+15)小時，由題意有方程

10／x+15／(x+15)=2／3

(1)

兩邊同除以2／3，得15／x+22．5／(x+15)=1

(2)

方程(2)告訴我們，有甲管先放15小時，再單獨開放乙管22．5小時可注滿水池。顯然方程(2)比方程(1)要簡便。對方程(2)繼續簡化，可得

22．5／(x+15)=(x-15)／x

(3)

方程(3)表示的意義是，乙管工作 22．5小時的工作量恰好等于甲管工作 (x-15)小時的工作量，這正是題中的隱含條件。可見，依據此隱含條件列出的方程(3)最為簡潔。

解方程(3)得x₁=30，x₂=-15／2(舍去)。

∴x+15=45答略。

三，設而不求，巧列中總蘊涵著巧解

任何—道應用題總包含著一定的數學條件和關系，要解決它就必須對題目本身進行具體、深入、透徹的分析，透過現象看本質，合理地選擇未知數。同時，要善于在“列”中發揮“過度未知數”(設而不求)的作用，從而使復雜的問題變得簡單，陌生的問題變得熟悉，使問題獲得巧解。

例3：有大小兩種貨車，2輛大車與 3輛小車一次可以運貨15．5噸，5噸大車與6輛小午一次可以運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸?(《代數》第一冊(下)P40第2題)

解析：若直接設3輛大車與5輛小車一次可以運貨x噸，則列方程較為復雜，而若設一輛大車一次可以運貨x噸，一輛小車一次可以運貨Y噸，則由題意易得方程組

2x+3y=15．5(1)

5x+6y=35(2)

由于本題要求出的結果是(3x+5Y)的值，因此我們可以不去分別求x、Y各自具體的值(設而不求)，而巧妙地采用從整體著眼的思想，直接求出其結果。這樣，就有下而的巧解：

(1)x7-(2)，得9x+15y=73．5

即3x+5y=22．4

所以3輛大車與5輛小車一次可以運24．5噸。

上述解法顯然比常規解法要顯得優越，它給人以簡潔明快之感。可見，巧列中蘊涵著巧解。

綜上可見，在應用題的教學中，“列”與“解”兩者是互相聯系不可分割的整體，列是解的基礎，解是列的繼續，只有既重視“列”，又注重“解”，在列中探求解，在解中完善列，才能啟迪思維，開發智力，達到培養其數學綜合素質之目的。