趣談回文數

歐陽維誠

北京有一家酒店，店名叫做“天然居”．店里有一副對聯：

客上天然居，居然天上客．

顧客走進這家酒店，看了這副對聯，感到自己居然是天上的來客，在沒有得到物質享受之前，就得到充分的精神享受了．

無獨有偶，文學中有回文聯回文詩，數學中也有一種回文數．

什么叫回文數？隨便看一自然數，例如２ ００１，將它各位數字的次序倒過來，就得到一個新自然數１ ００２，稱為原數的反序數．例如２ ００１與１ ００２互為反序數，１ ９９９與９ ９９１、３１８與８１３、１７與７１等等，都互為反序數．

一般地說，一個數與它的反序數并不相等．例如２ ００１就不等于１ ００２，１ ９９９也不等于９ ９９１．有的數與它的反序數是相等的．例如２ ００２的反序數仍為２ ００２，３４３的反序數仍為３４３，像這種與它的反序數相等的數就稱為回文數．２ ００２、３４３都是回文數．除此之外，還有其他的回文數，如５５、１ ００１．

回文數有許多有趣的性質．數學家對它進行了深入的研究，但還有許多問題沒有解決，留下了不少關于回文數的猜想．

我們看一個有趣的操作：

隨便一個數，例如９７，它不是回文數，把它與它的反序數相加，９７的反序數是７９，將兩數相加９７＋７９＝１７６．

１７６仍然不是回文數，再將上述運算過程繼續下去，將１７６與其反序數６７１相加１７６＋６７１＝８４７，如此繼續下去，便逐步得到８４７＋７４８＝１ ５９５，１ ５９５＋５ ９５１＝７ ５４６，７ ５４６＋６ ４５７＝１４ ００３，１４ ００３＋３０ ０４１＝４４ ０４４．

終于得到了一個回文數．事實上可以證明：任何一個兩位數，若不是回文數，則加上它的反序數．如果其和仍不是回文數，那么再重復上述步驟，經過有限次這樣的加法運算之后，一定能得到一個回文數．

對于大多數不是兩位數的自然數，也有類似的性質．例如對三位數１９７來說，我們有：

１９７＋７９１＝９８８，

９８８＋８８９＝１ ８７７，

１ ８７７＋７ ７８１＝９ ６５８，

９ ６５８＋８ ５６９＝１８ ２２７，

１８ ２２７＋７２ ２８１＝９０ ５０８，

９０ ５０８＋８０ ５０９＝１７１ ０１７，

１７１ ０１７＋７１０ １７１＝８８１ １８８．

最后也得到了一個回文數．能不能將這些結果推廣，得到下面的猜想呢？

任何一個不是回文數的正整數，加上它的反序數，若其和仍不是回文數，則再加上其和的反序數．如此不斷地重復上述步驟，經過有限次這樣的運算之后，一定能得到一個回文數．

這個猜想是否成立？目前尚未證明也未否定．雖然電子計算機對很多數的檢驗都支持這一結論，但有些數并不“馴服”．１９７這個數，我們只做了七次加法運算就得到了回文數，但對１９６來說，情況就完全不是那么一回事了．據說有人用計算機作過幾十萬次運算，尚未得到回文數，也未能證明它不能產生回文數．

這個猜想與著名的哥德巴赫猜想一樣，猜想的內容小學生都能聽懂，但要解決它，大學者也無能為力．也許和哥德巴赫猜想一樣，它也是一個世界級的難題．