深入挖掘課本中習題潛能

在教學中注意選取課本上的典型例題、練習，并加以變化、引申，往往能得到原來不知道的結論，還能綜合運用所學知識，提高學生的能力。

如人教版九年義務教育三年制初級中學幾何第三冊課本69頁16題：“破殘的輪片上，弓形的弦AB長48mm，高CD為70mm(如圖1)，求原輪片的直徑，”將此題拓展開去，如果遇到殘圓如何求殘圓所在的圓的直徑?筆者在平常教學中常采用下列方法引導學生解題，如圖2，一殘輪片，如何求得它所在圓的直徑?

分析 在“圓”這一章中，有關直徑的定理、性質及推論有：垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質及其判定、切線長定理等，因此要確定直徑有可能應用以上定理及其推論．又因為殘輪片中包含有圓周角、弦，若過一點作切線就有弦切角及切線長，所以利用以上定理、性質、推論能夠畫出殘輪片所在圓的直徑(半徑)，從而能夠測出它的直徑。

方法

(1)利用垂徑定理及其推論確定圓心。

①任選兩條弦，作弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心，量出半徑，求得直徑(如圖3)，OC＝R。

②作出一條弦及弓高，通過計算，利用射影定理求出圓的半徑，得直徑(如圖4)，BC²=CD·2R．

(2)直徑上的圓周角是直角。

在弧上任選一點，過這點作兩條弦，然后過另外兩點作兩條垂線，兩垂線交點和兩弦的公共端點連線即為圓的直徑(如圖5)，AD=2R。

(3)利用切線的性質的推論：過切點垂直于切線的直線必過圓心。

在弧上任意兩點，過這兩點分別作兩條切線，過切點作切線的垂線，兩垂線的交點即為圓心，量出半徑，得直徑(如圖6)，OC＝R。

(4)利用切線長定理．

①若殘弧大于(或等于)1／4圓周時，移動三角板的兩條直角邊，使它們與弧相切，則兩切點、直角頂點、圓心構成正方形，此時切線長即為圓的半徑(如圖，7)，AC＝BC＝R。

②若殘弧小于1／4圓周時，過弧外一點作弧的兩條切線，量得上CAB的度數，利用切線長定理，通過解直角三角形AOB，再由OA：ABtan1／2＜上CAB計算得圓的直徑(如圖8)。

求殘輪片所在圓的直徑問題，在現實中有應用，在近幾年中考試題中經常出現，其形式不斷變化，所用方法也多樣，以上幾種方法應用了“圓”這一章中幾個重要的定理、性質、推論，由這一個小小的問題我們認識到：只有深入挖掘課本上例題、習題的潛在功能，使常規題有新的內容，與實際問題緊密聯系，才能以點帶面，提高學生的綜合素質，真正做到常學常新。

現把近幾年有關殘輪片的中考試題摘錄如下：

1．“小紅家的鍋蓋壞了，為了配一個鍋蓋，需要測量鍋的直徑(鍋沿所形成的圓的直徑)，而小紅家只有一把長20cm的直尺，根本不夠長，怎么辦呢?小紅想了想?采用了以下辦法：如圖9，首先把鍋平放到墻根，鍋沿剛好靠到兩墻，用直尺緊貼墻面量得MA的長如圖10，即可求出鍋的直徑。

(1)請你利用圖10說明她這樣做的理由；

(2)在現有條件下，你還能設計出另外—個可求出鍋的直徑的方法嗎?如果能，請在圖9中畫出示意圖，并說明理由(不必求出鍋的直徑)，(濟南市中考試題)

2．請作出如圖11所示的破殘圓片的圓心，(蘭州市中考題)

3．如圖12，破殘的圓形殘片上，弦AB的垂直平分線交AB于點C，交弦AB于點D，已知AB＝24cm，CD=8cm．

(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求(1)中所作圓的半徑，(揚州市中考題)

4．如圖13，要把破殘的圓片復制完整，已知弧上的三點A、B、C，

(1)用尺規作圖法找出BAC所在的圓的圓心O(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)設AABC是等腰三角形，底邊BC＝10cm，腰長AB二6em，求圓片的半徑只(結果保留根號)；

(3)若在(2)題中的R的值滿足n

5．如圖14，現需測量一井蓋(圓形)的直徑，但只有一把角尺(尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長度都長于井蓋半徑)．請配合圖形、文字說明測量方案，寫出測量步驟(要求寫出兩種測量方案)。(甘肅省中考題)

責任編輯／宋一兵