《平面圖形的密鋪》課堂實錄及評析

師：很高興能和江城中學二年一班的同學們共同學習，下面就讓我們走進愉快的45分鐘，同學們準備好了嗎?好，上課！

生：老師好！

師：同學們好！早就聽說吉林是一個風景秀麗、歷史悠久的文化名城，這次來到吉林有幸欣賞了吉林的幾處美景，果然名不虛傳！特別是當我漫步在美麗的松花江畔時倍感親切，因為在松花江的下游也有一個美麗的城市，那就是老師的家鄉——哈爾濱，下面就請同學們和老師一起去哈爾濱看一看，欣賞那里的幾處著名景點．(展示配樂錄像片，邊演示邊講解。)

師：首先映人大家眼簾的是龍塔，亞洲第一高鋼塔，塔高334米；這是著名的索非亞教堂，是富有歐洲風格的標志性建筑；百年老街中央大街，是全國第一條步行街，街道的兩旁云集了各式的歐式建筑，非常典雅；新修的果戈里大街也獨具特色；這里是剛剛落成的紅博世紀廣場，室內裝修非常精美，成為哈爾濱又一條亮麗的風景線．大家在欣賞這一幅幅絕美圖畫的同時，不知是否注意到了這些樣式各異的地面拼鋪呢?(如圖1、圖2、圖3、圖4)這些地面拼鋪在我們生活中可以說隨處可見，這里面可蘊涵了一些數學知識．下面就請大家以數學的視角再來認真地觀察這幾幅地面拼鋪，看看你有什么發現?

生：這些圖形都是由一些幾何圖形構成的．

師：好，能不能再具體一點，分別是由哪些圖形構成的呢?

生：圖1的拼鋪都是由菱形鋪成的，圖2是由正方形、矩形鋪成的，圖3是由矩形鋪成的，圖4是由正六邊形鋪成的。

師：觀察得很細致！其他同學還有補充嗎?

生：這里每種拼鋪都是用全等的圖形組成的。

師：都是一種全等圖形拼鋪而成的嗎?

生：不是，圖2是由三種全等的圖形拼鋪而成的。

師：大家再認真觀察這幾種拼鋪，每種拼鋪中，圖形與圖形之間的拼鋪方式又是怎樣的?

生：它們都是一個挨著一個緊密相連的!

師：說得對，那誰能把他的意思用數學語言表達出來呢?

生：圖形與圖形之間是沒有縫隙的。

生：我補充一下，不僅是沒有縫隙的，而且是不重疊的!

師：說得太好了!我們把大家的發現進行歸納和概括：就是這些拼鋪都是由形狀大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就叫做平面圖形的密鋪，也叫平面圖形的鑲嵌。(教師邊敘述邊電腦展示文字概念)請同學們體會一下這個概念。(教師板書課題：平面圖形的密鋪。)

師：現在同學們對平面圖形的密鋪已經有了初步的了解，并且看到了有些圖形可以進行密鋪，下面我們來看一下這個實際問題：(展示flash動畫。)

某校校園擴建，要在操場的四周鋪設步道板，在建材商店選購材料過程中看到如下幾種形狀的步道板(如圖5)：正方形，矩形，正六邊形，正八邊形，如果只選擇一種進行密鋪，哪幾種可供選擇?

師：同學們兩人一組，利用黃色材料袋里的各種多邊形紙板嘗試密鋪。做出選擇請馬上舉手示意老師。(1分鐘后)請同學們說一說你們做出了怎樣的選擇?

生：我們選擇的是正方形，矩形，正六邊形。

師：大家的選擇和他一樣嗎?

生：(點頭)一樣!

師：那好，我們就請這位同學到前面給大家演示一下這些圖形的密鋪過程！

生：(邊演示邊敘述)大家看正方形、矩形都可以通過把四個角拼在一起來密鋪；把三個正六邊形拼在一起就可以密鋪！正八邊形兩個拼在一起有縫隙，而三個拼在一起就會重疊，所以八邊形不能密鋪。(同學們掌聲表示鼓勵．)

師：真不簡單，不僅能嫻熟地操作，而且還用語言準確地表述了整個拼鋪過程！大家進行密鋪方式都和他一樣嗎?

生：我在對矩形和正方形進行密鋪時，不是四個角對在一起，而是錯開拼的，也一樣能密鋪(圖6。)(邊說邊演示。)

師：很好，那你能不能說一說你是怎么想到這樣也可以密鋪的?

生：我看到剛才片頭的錄像中有一種地面的拼鋪就是這樣的。

師：你真善于觀察!如果我們注意觀察生活，就會給我們的學習帶來很多幫助。

師：剛才我們通過動手實踐驗證了正六邊形、矩形、正方形可以進行密鋪，其中矩形、正方形的密鋪方式還不惟一，而正八邊形不能密鋪。請大家思考為什么正八邊形不能密鋪?你能從其他角度來解釋嗎?(學生獨立思考后，小組交流后全班交流。)

生：我們知道正八邊形的每一個內角是135°，我們不能做到把幾個135°角拼在一起構成360°，所以正八邊形不能密鋪。

師：為什么要構成360°?你是怎樣想到的?

生：如果幾個角拼在一起能構成360°的話，就形成一個周角，就沒有縫隙了！(同學們報以熱烈的掌聲。)

師：大家熱烈的掌聲已經表明了你的發言很精彩，同時也看出大家的觀點和你是一致的。同學們都很聰明，能夠把密鋪的關鍵：無縫隙、不重疊和數學中的幾個角拼在一起形成360°聯系在一起，使問題很容易得到了解決。我們利用這個規律可以驗證任何一種正多邊形能否密鋪。那這一規律是否具有一般性呢?也就是它是否適合驗證任意多邊形能否密鋪呢?

師：帶著這個問題我們進行下面的活動。首先請大家四人一組，拿出紫色材料袋中的一組全等的任意三角形和全等的任意四邊形，看看任意三角形，任意四邊形能否密鋪。(電腦出示。)

嘗試任意三角形能否密鋪；2．嘗試任意四邊形能否密鋪；3. 小組交流，得出了什么結論?

(小組合作嘗試，教師深入到小組中，與學生交流，了解學生的探究進程，并給予適當的點拔和指導，個別小組黑板展示拼鋪過程．)

(大約15分鐘以后．)

師：下面我們請到黑板拼鋪的小組來說一說他們是怎樣想的，又是怎樣拼鋪的．

生：我們小組是這樣想的：因為三角形的內角和是180°，所以我們想只要把三角形的三個不同的內角拼在一起就能湊成一個平角，像這樣再把三角形的三個不同的內角拼在一起，就能形成360°，這樣就能密鋪了!(圖7．)

生：我來補充，我同意她的說法．但是我覺得對于三角形的密鋪，不一定必須在一個頂點處把六個不同的角拼在一起，只要形成180°就可以了，也就是可以錯開鋪!(圖8．)

(同學們點頭稱贊，并給予熱烈的掌聲．)

師：大家都發現了問題的本質，三角形的密鋪方式也是不惟一的!下面我們來聽一聽拼鋪任意四邊形的小組是怎樣嘗試的．

生：我們也想到了要進行密鋪就要想辦法把幾個角拼在一起能達到360°，所以我們把任意四邊形的四個不同的內角拼在同一頂點處，因為四邊形的內角和是360°，這樣就可以密鋪了!

生：我們小組不同意他們的說法．我們在密鋪的時候一定還要保證把相等的邊重合在一起，因為我們不能保證一切四邊形的某兩個角一定有互補的關系，所以任意四邊形的密鋪和三角形的密鋪有所不同，不僅要把四個不同的內角拼在一起，還要使他們相等的邊重合．(圖9．)

師：大家同意她的說法嗎?如果同意就用熱烈的掌聲表達一下吧!(熱烈的掌聲．)

師：同學們通過組內協作和剛才的全班交流都發現了圖形密鋪的規律，我們一同來看一下：(展示電腦flash動畫)對于三角形的密鋪我們可以通過把三角形的內角拼在一起組成360°角，也可以在此基礎上進行平移達到密鋪的目的．而任意四邊形一定要滿足各個拼接點處各角之和是360°!因此在拼鋪的時候一定要做到把相等的邊重合．

師：下面請同學們欣賞一組圖片(圖10)．(電腦展示．)

師：好，在這組圖片中你發現了什么?

生：我們剛才只是在進行一種圖形的密鋪，從圖片中我們可以看到兩種或兩種以上的圖形也可以進行密鋪，而且拼鋪的圖案甚至更美!

師：是啊，我發現有些同學已經開始躍躍欲試了，也想試著拼一拼，那好，大家在下面這個環節中可以充分發揮自己的才能!

(電腦出示問題．)

某校在擴建過程中，打算在前廳鋪設地磚，你能給學校的前廳設計一個密鋪的方案嗎?請同學們四人一組合作，利用手中各種邊長相等的多邊形紙板進行圖案設計．

(學生小組合作，大約5分鐘后，樣式各異的密鋪圖案被展示到了黑板上．)

展示作品如下：(圖11．)

師：多么精美的藝術作品啊，現在同學們可以選擇你喜歡的一幅評價一下!

生：我比較喜歡第一幅，因為這個密鋪圖案在拼鋪上很有對稱性，顏色搭配也很和諧．

生：我比較喜歡第三幅，這個圖案是用正八邊形和正方形鋪的，我們小組就沒想到!

師：那好，我們就請設計這幅圖案的小組談談你們是怎么想到這樣選擇密鋪圖形的呢?

生：我們小組想到了，要想密鋪就必須每個拼接點處各角之和是360°，正八邊形每個內角是135°，我們想到在每個拼接點處拼兩個八邊形的內角和一個正方形的內角就正好能達到密鋪，再注意一下顏色搭配就更好了!

師：說得太好了，能夠運用數學知識指導設計，體現了我們數學學習的價值．通過他們的介紹，我想有些小組會受到啟發．可以再對自己小組設計的方案進行一下修改，使之更加精美!

師：同學們都發揮了自己的才智設計了這么多精美的圖案，我也設計了一幅密鋪圖案送給大家．我利用密鋪拼出了一句話“友誼長存”，愿我們通過這次活動建立起來的友誼長存!(學生熱烈地鼓掌．)

師：實際上，不僅一些規則的圖形可以密鋪，有些不規則的圖形也一樣可以密鋪，大家請看(如圖12)．這是一幅名叫《水兵合唱隊》的密鋪圖案，大家可以回去思考，為什么這個圖形也可以密鋪呢?

師：通過本節課的學習，請同學們談談你有哪些收獲和體驗呢?

生：通過這節課的學習，我知道了什么是平面圖形的密鋪和什么圖形可以進行密鋪.

生：我還知道了生活中存在著許多的數學問題．我們要善于觀察、發現問題，這樣才能使學習更好地為生活服務!

師：是啊，只有認真地觀察生活，發現問題，運用數學知識去解決問題，再用我們得出的結論去指導生活，(展示探索流程圖，如圖13)我們的學習才會更加有意義，我們的生活才會變得更加豐富多彩!本節課，同學們的出色表現給我留下了深刻的印象，我祝愿大家在今后的學習中收獲多多，滿意多多!

下課!同學們再見!

生：老師再見!

評析：

這節課從教學設計到教學過程上看，是一節很成功的課．體現了兩個“創新”，實現了兩個“轉變”，貫徹了一個“宗旨”．

教學設計創新，本節課的設計是以學生活動為中心，以問題為主線，經歷“觀察生活、建立模型、探索規律、創造生活”的過程．并且設計的問題都是開放的，情境化的，具有探索性．

教學過程創新，通過觀察哈爾濱的一些美麗景觀，讓學生在創設情境中開始密鋪的研究；經歷幾種特殊的多邊形密鋪的探究過程，讓學生進一步體會密鋪的概念；通過對任意三角形、四邊形的密鋪的探索，讓學生在合作交流中感悟密鋪的原則；通過學生設計密鋪圖案，讓學生體驗創造的樂趣，并進一步了解密鋪的實際意義，領會密鋪設計應遵循美觀、大方、實用的策略，真正體會密鋪的應用價值．

在教學過程中，實現了教師角色的轉變和學生學習方式的轉變．在學生合作交流學習中，教師自始至終關注學生的活動，成為學生學習活動的幫助者．從教學設計到教學過程可以看出：本節課貫徹了“以學生的發展為本”的宗旨，真正從純知識技能傳授的課堂轉化為生命的課堂．

責任編輯／張 燁