要重視挖掘“邊角材料”的教學(xué)功能

九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材(人教版)的一個(gè)新特點(diǎn)，就是在教材的適當(dāng)?shù)胤酱┎辶恕白x一讀”“想一想”“做一做”等欄目，這些欄目往往出現(xiàn)在教材中相應(yīng)知識(shí)的練習(xí)或習(xí)題的后面，或教材的頁(yè)邊處，不妨稱之為“邊角材料”，它是教材的重要特色之一，深刻理解其內(nèi)涵，明確其作用和功能，是使用好新教材的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

一、“邊角材料”有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)或?qū)W習(xí)對(duì)象的一種力求認(rèn)識(shí)和探索的意識(shí)傾向．學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，就會(huì)全神貫注、積極主動(dòng)地對(duì)所學(xué)知識(shí)加以關(guān)注和研究．而教材中的“讀一讀”“想一想”“做一做”可以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

例1 初中《幾何》第二冊(cè)，第113頁(yè)“讀一讀”的“完美的正方形”．

正方形有相等的角、相等的邊、相等且互相垂直平分的對(duì)角線，它是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，這些性質(zhì)使正方形獲得了人們的喜愛和廣泛的應(yīng)用．例如，人們用邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的正方形的面積作為度量其他圖形面積的基本單位．人們也喜歡用正方形圖案美化生活環(huán)境，比如：用正方形的水磨石或地板磚鑲嵌室內(nèi)地面，不僅使人感到美觀大方，而且施工簡(jiǎn)單易行．

在人們的實(shí)踐活動(dòng)中，還發(fā)現(xiàn)了正方形許多奇妙的性質(zhì)，例如：正方形的周長(zhǎng)比與它等面積的任何矩形的周長(zhǎng)都短，反過來(lái)，正方形的面積比與它等周長(zhǎng)的任何矩形的面積都大，于是，人們用這些性質(zhì)指導(dǎo)實(shí)踐活動(dòng)．比如：要用磚墻或籬笆圍一塊面積一定的矩形地塊時(shí)，都盡可能圍成正方形，這樣可以節(jié)省材料．

你不妨做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，畫一個(gè)周長(zhǎng)為20em的矩形，使它的一邊長(zhǎng)分別為：(1)3cm(2)5cm(3)6cm，再計(jì)算一下，哪一個(gè)矩形的面積最大．

二、“邊角材料”有助于提高學(xué)生的閱讀理解能力

閱讀理解能力就是要求學(xué)生認(rèn)真地、仔細(xì)地閱讀題目提供的信息，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解和分析，并且把所給的內(nèi)容翻譯成數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而解答問題的能力．教材中的“讀一讀”、“想一想”提供許多可供閱讀的素材，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力具有特殊的意義．

例2 初中《幾何》第二冊(cè)第131頁(yè)“讀一讀”的“巧用材料”．

紅光木器廠的工人師傅，把一批形狀、大小完全相同，但不規(guī)則的四邊形邊角余料用來(lái)鋪地板，按照?qǐng)D2那樣拼接成四邊形木塊，就可以不留空隙，像圖3那樣鋪成一大片．

你自己用硬紙片剪一些全等的任意四邊形，拼一拼看．想一想，用不等邊的一些全等三角形，可以鑲嵌成地板嗎?

這個(gè)實(shí)際問題的解答要以培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力為主線展開，首先引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生：從圖2，你看到了什么(四個(gè)全等的四邊形，各取一個(gè)不等的內(nèi)角，拼接在一起)?為什么用這樣形狀的材料能鋪成平整無(wú)空隙的地板呢(這是因?yàn)樗鼈兊慕强梢云闯芍芙牵纯善闯?60°)?這樣做的依據(jù)是什么(任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°)？

三、“邊角材料”有利于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明。但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的，只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明過程的話，那么應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢茫睂W(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷合情推理——演繹推理的過程，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，重視合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神，而初中數(shù)學(xué)教材中的“想一想”為培養(yǎng)學(xué)生的和情推理能力提供了很好的素材．

例3 初中《代數(shù)》第一冊(cè)(下)第135頁(yè)“想一想”．

我們考察個(gè)位上的數(shù)為5的兩位數(shù)的平方，例如：由計(jì)算得到35²=1225，發(fā)現(xiàn)積的末兩位上的數(shù)25=5²，前面的數(shù)12=3×(3+1)換一個(gè)數(shù)75²試一試，你得到什么規(guī)律?

一般地，對(duì)于形如10a+5(a=1，2，3…，9)的兩位數(shù)，這一規(guī)律都適用嗎?為什么?當(dāng)a=10，11，…，19時(shí)，這一規(guī)律還適用嗎?為什么?

列出算式類比：

35²=1225 55²=3025 65²=4225

75²=5625 85²=7225 ……

揭示規(guī)律：形如(10a＋5)²牙的數(shù)，它的積的末兩位上的數(shù)是25＝5²，前面的數(shù)＝a(a+1)(a-1，2，…，9).

因?yàn)?10a+5)²＝100a²+100a+25=100a(a+1)+25=a(a+1)×100+5²，同理，當(dāng)a=10，11，…，19時(shí)，這一規(guī)律仍適用．

四、利用“邊角”材料培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力

“探索是數(shù)學(xué)的生命線”培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力是素質(zhì)教育賦予教師的時(shí)代重任，而實(shí)現(xiàn)這一任務(wù)的主陣地應(yīng)在平時(shí)的課堂教學(xué)中新教材中的“想一想”為培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力提供了很好的素材．

例4 初中《幾何》第二冊(cè)，第157頁(yè)“想一想”．

如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是正方形A′B′C′D的另一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，那么正方形A′B′C′O繞O無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的1/4，想一想，這是為什么?

教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從特殊化入手，把正方形A′B′C′O繞O旋轉(zhuǎn)到OA′與OA成—線，或OA′上AB的兩個(gè)特殊位置，容易驗(yàn)證其重疊部分面積為正方形面積的1/4．

由此可得到一般情況下的證明思路，即證明△OAE≌△OBF．顯然上述引導(dǎo)很有啟發(fā)性，既看到重疊部分面積確為1/4，又探索到證明定值的途徑．但這個(gè)問題到此為止則顯得淺薄，因?yàn)樯鲜龇治鍪冀K對(duì)定值的成因沒有任何幾何實(shí)質(zhì)的揭示，使學(xué)生陷入“知其然，而不知其所以然”的境地，所以應(yīng)更深刻地引導(dǎo)學(xué)生探究此問題的實(shí)質(zhì)所在.如圖2，過正方形ABED中心O的兩條互相垂直的直線L₁、L₂，把正方形ABCD分成四部分S₁、S₂、S₃、S₄，誘導(dǎo)學(xué)生探索S₁、S₂、S₃、S₄的關(guān)系，很容易得到：S₁=S₂=S₃=S₄=1/4S_{正方形ABCD．這樣抓住了正方形的結(jié)構(gòu)特征和L1、L1的位置特征，看透了問題的本質(zhì)．使學(xué)生明白正方形OA′B′C′的大小其實(shí)是非實(shí)質(zhì)的，并且題中是否為正方形也是非實(shí)質(zhì)的，比如把兩個(gè)正方形換成兩個(gè)正六邊形仍有類似結(jié)論。}

教學(xué)到此，學(xué)生已經(jīng)探索到了問題的實(shí)質(zhì)，但學(xué)生的創(chuàng)新潛能未能得到盡情的發(fā)揮，因此，可以把探索到的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際，繼續(xù)引申．

引申題：用現(xiàn)有一塊正方形土地建花園，打算將其四等份，在每一等份中種上不同顏色的花草，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出你覺得比較美觀的多種可供選擇的方案。

這看起來(lái)只是簡(jiǎn)單地引申，其實(shí)這樣的開放性問題已經(jīng)營(yíng)造了求異與創(chuàng)新思維的問題情境，起到了刺激學(xué)生感官、思維，激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)新欲望的作用，學(xué)生不僅用數(shù)學(xué)的思維考慮將其四等份，而且還從美學(xué)的角度去分析、探索，把數(shù)學(xué)、美學(xué)緊緊地聯(lián)系在一起，可以設(shè)計(jì)出許多獨(dú)特的方案，使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)隱含的美和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．

總之，如果我們每一個(gè)教師在平時(shí)的教學(xué)中，能夠重視運(yùn)用教討的每一部分內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力乃至數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有切實(shí)的幫助．

(作者單位：甘肅省景泰縣蘆陽(yáng)二中)

(摘自《中小學(xué)數(shù)學(xué)》)

責(zé)任編輯／宋一兵