圖像平移的特點

圖像平移問題是高中數學的重點，也是一個難點。在教學實踐中，許多學生直到高三總復習時對這個問題仍然是不甚明了。其根本原因是許多人沒有明白這里面的“理”。下面就談一談我的一些見解和對這個問題的引申。

一、把y＝f(x)的圖像左移一個單位得到y＝f(x+1)的圖像。這是因為，設(x_o，Y_o)是y=f(x)上的任意一點，那么在y=f(x＋1)中，要想使其函數值等于Yo，則必須使其自變量X=X_o-1。這就是說，要想使這兩個函數的函數值相等，y=f(x+1)中自變量的取值必須比y=f(x)的自變量的取值小1才行。這樣，由點(x₀，Y_o)在㈦圖像上的任意性，就可以看到：y=f(x+1)的圖像就好像是由y=f(x)的圖像向左平移一個單位得來的一樣。同理，把y=f(x)的圖像右移一個單位便得到y=f(x-1)的圖像。

例如：

①把y=2x圖像左移兩個單位便得到y=2x+2的圖像。

②把y=log^x+arcsinx的圖像右移三個單位便得到y=log(x—3)+arcsin(x—3)的圖像。 一

以上想法可以用“左加右減”來記憶，即要把y=f(x)的圖像左(右)移幾個單位，就在它的自變量加上(減去)幾，y不變，所得的結果就是平移后的圖像所對應的解析式。這里的“加”和“減”是指對平移前的函數的自變量x而言的。

二、“左加右減”不僅適用于函數圖像的平移，而且適用于y的次數不是一次的一般方程的曲線的平移，其道理與上相同。

例如：

y²=2x+log(sinx)的圖像右移四個單位便可以得到y^{2=2(x+4)+log[sln(x+4)]的圖像。}

三、對于圖像上下的平移，也可以用“左加右減”來概括，只不過這時你的雙眼相對y軸位置必須是如圖的位置，仍使y軸的正方向指向你的右側(與你看x軸時，x軸的正方向指向你的右側一樣)。這樣，曲線在坐標系內上下平移時相對你的雙眼就是左右平移了。一般的，把f(x，y)＝0的曲線上(下)移幾個單位，就把它的y值減去(加上)幾，x不變，所得的結果就是平移后的曲線所對應的方程。這里的“加”和“減”是只對平移前的曲線方程中的y而言的。這一結論就可以用“上減下加”或者統一成“左加右減”來記憶。

例如：

①把x²+2arcsin(y²+y)=0的曲線上移三個單位便可以得到x2+2arc-sin[(Y—3)²+(y—3)]=0的曲線。

②把x²+y²=0的曲線下移兩個單位便可以得到x²+(y+2)²=0的曲線。

但是這里面又產生一個問題：就是很多學生都會感覺到上面的這一結論，似乎與自己以往對二次函數圖像平移的認識“上加下減”有特別大的矛盾。其實不然，上面的結論可以看作是原來結論的推廣和加深，它適用于原來的結論而又凌駕于原來的結論之上，它的適用范圍更大了，是在變化中的完善與統一。請看下面的例子：

把y=2x²+x的圖像上移三個單位，便得到(y—3)=2x²+x的圖像。這與學生們在初中學習二次函數時，對圖像上下平移的認識“上加下減”所得的結果：y＝2x²+x+3是一樣的。但是這里把向上平移的單位“3”移到等號的左邊被y減更具有一般性，這是因為：當y的次數不是一次時，如果再按“上加下減”的認識來處理就會得到錯誤的結論。

例如：

把y²=2X²+X的圖像上移三個單位后所對應的解析式為y²=2x+x+3就是錯誤的結論，正確的結果應是(y-3)2=2x2+x。

有了對上面三個部分的分析與理解，我們對圖像平移問題的認識就可以有一個比較深刻的理解和把握，處理實際問題時也就變得靈活自如了。

(作者單位：大興安嶺實驗中學)

責任編輯／張 燁