“幾何”的起源

一、幾何課程的由來

人類自然科學史的第一個盛世，出現在2500年前的古希臘。數學科學的代表，首推畢達哥拉斯(公元前580～500年)及以其命名的學派。他們認為當時的數學已經發展到近于完美的程度，并堅信自然數及其比(有理數)可以表達世間一切數量關系的問題。

畢達哥拉斯學派發現了勾股定理后，學派成員希帕索斯由勾股定理得出了“等腰直角三角形之直角邊與斜邊不可公度”的結論，無理數21/2于此時誕生。21/2就像魔鬼一樣，毀滅了畢達哥拉斯學派信念，整個數學界一片恐慌，這便是歷史上的第一次數學危機。

危機發生后，人們回避那些討厭的數字，轉而把更多的精力投入到現實空間模型方面的研究，從而導致了《歐幾里德幾何原本》(以下簡稱《原本》)的誕生。《原本》于明朝末年傳人我國，由徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯而成。客觀地講，我國現行初、高中數學教材中的幾何部分，均是《原本》的部分章節。

歐幾里德(Euclid公元前330～270年)的《幾何原本》是歷史上第一部甄于完善的公理演繹體系數學專著，是第一部幾何巨著，是具有劃時代意義的偉大成就。不僅如此，古今中外許多國家都把《原本》當作訓練學生邏輯思維及推理能力的良方良藥，其在世界教育史中的地位、作用及深遠影響，是其他任何一部專著都無法與之相提并論的。

二、《原本》的基本結構

《原本》在開篇給出了23個例如“點無部分”、“線無寬度”這樣的概念，隨后列出如下一些公理：各與同一個第三個量相等的量必相等；相等的量加上相等的量相等；相等的量減去相等的量相等；不相等的量加上相等的量不相等；相等的量的兩倍為相等的量；相等的量的一半為相等的量；相互重合的量一定是相等的量；整體大于部分；過任意兩點只能引一條直線。

再后列出一些公設，如：從一點到另一點必可引直線；任一直線必可無限延長；以任意一點為中心均可以以任意長為半徑畫圓；所有的直角都相等；若兩條直線與第三條直線相交，其一側的兩角之和小于兩直角時，則把這兩條直線向該側延長后一定相交(此公設等價于三角形內角和等于180度)。

一般的觀點，公理與公設的區別為：公理為幾何和代數所公用，公設為幾何獨用。龐大的《原本》幾何體系便建立在這些公理和公設之上，或者說以公理和公設為基礎，演繹出了《原本》這座幾何大廈。

三、《原本》的現實意義

第五個公設冗長且不直觀明了，去掉是不可能的，后人試圖修補并做了許多工作，都無功而返。盡管人們不滿意，但很長時間內依舊將其視為現實空間的真實反映。

基于以后數學家的大量工作，終于在19世紀誕生了非“歐幾里德”幾何，即黎曼(1826～1860年)幾何和羅巴切夫斯基幾何。兩位數學家均對第五公設做了改動，前者把第五公設改變為：三角形內角和大于180度；后者為：三角形內角和小于180度。其他公理和公設及概念不變。

黎曼和羅巴切夫斯基通過對第五公設的改動，均得到了自己完善的幾何體系。起初他們的成就并沒有得到公眾的認可，甚至遭到攻擊，但隨著歷史的進步，逐漸為世人所承認。現今，人們普遍認為，非歐幾里德幾何對現實空間的描述，要比《原本》好得多。如是，不能將《原本》作為絕對的真理教給學生。普遍觀點，《原本》是一部內部完善的幾何學公理演繹體系，由于結構嚴謹，直觀明了并易于接受，所以許多國家依舊將其作為培養學生邏輯思維和數學能力的良好素材。

(作者單位：大興安嶺進修學校)

責任編輯／張 燁

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