研發微專題課例，促進學生學深悟透

［摘 要］ 微專題教學作為一類新課型，在復習課、習題課教學中被很多教師積極實踐. 這類課型大都是基于教學實際或學情反饋，選取一道經典習題或某個基本圖形，基于變式設問、拓展追問的方式組織教學，結合學情特點，盡量采取開放設問、留白等待、鋪墊問題等教學方式，幫助學生“學一題、會一類、通一片”，并教會學生“學會思考”.

［關鍵詞］ 微專題；圓；鋪墊問題；變式教學；學會思考

最近一次九年級階段檢測中，我們選用了教材上一道圓的經典習題，結果得分率遠低于預期，為此備課組經過集中研討，決定圍繞教材上圓的經典習題開展微專題教學，引導學生對教材上圓的經典習題“學深悟透”. 筆者分工了一個圓的微專題課例研發任務，經過深入構思、變式拓展，形成一節圓的微專題課例，組內教師一致認為這節微專題課較好地體現了“源自課本、高于課本、指向中考”的設計理念，在實際教學中也取得較好的教學效果. 本文梳理該課教學設計，并圍繞微專題教學提出筆者的實踐與思考，提供研討.

圓的微專題教學設計

教學環節一：從課本題出發

問題1：如圖1，☉O的直徑AB為10 cm，弦BC=8 cm，∠ACB的平分線交☉O于點D. 連接AD，BD.

（1）判斷△ABD的形狀，并說明理由；

（2）求四邊形ACBD的面積；

（3）用等式表示線段AC，BC，CD之間的數量關系，并用不同的方法進行證明.

設計意圖與解法預設 第（1）問對應著課本題（求證△ABD是等腰直角三角形），屬于基礎熱身；第（2）問有不同的算法，比如可以分別求出△ABC和△ABD面積，再相加得出四邊形ADBC的面積，也可考慮（如圖2）過點D分別向AC，BC作垂線段DE，DF，將四邊形ADBC的面積轉化為求正方形DECF的面積（這里需要安排學生證明四邊形DECF是一個正方形）；第（3）問，可以借助圖2進行轉化，正方形DECF中，對角線CD是其邊長的倍，而正方形的邊長等于（AC+BC），進而可求得CD=AC+BC.

教學環節二：能力提升

問題2：如圖3，AB是☉O的直徑，AC是☉O的弦，∠ACB的平分線CE分別交AB于D，交☉O于E，連接EA，EB.

（1）設EA=m，EC=n，試用含m，n的代數式表示△ABC的周長；

（2）試探求：當邊AC，BC的長度變化時，+的值是否發生變化？若不變，請求出這個不變的值；若變化，試說明理由.

設計意圖與解法預設 第（1）問可以看成是“問題1”第（3）問的運用，將AC+BC轉化為CE，再將AB轉化為AE，可得△ABC的周長為（m+n）. 第（2）問的兩個線段比值之和的探究，可以引導學生構造兩條垂線段（如圖4），將兩個線段之比分別轉化為與之相關的“+”，借助相似三角形的對應邊之比相等，+=+=1，再結合CD=DG=DH，可得+的值為定值.

教學環節三：拓展挑戰

問題3：如圖5，銳角三角形ABC的∠A的平分線交BC于L，又交三角形的外接圓于N. 過L分別作AB和AC邊的垂線LK和LM，垂足是K，M. 判斷四邊形AKNM的面積與△ABC的面積是否相等. 如果相等，說明理由；如果不相等，舉出反例.

設計意圖與解法預設 考慮到三角形面積公式與底邊和高有關，結合題設“角平分線”，如圖6，過點N作NG⊥AB，NH⊥AC，垂足分別為G，H，連接NC，可以證得△NCH≌△NBG，進而得到AH=AG=（AC+AB），記LM=LK=h1，NG=NH=h2，于是△ABC的面積可以表示為（AC+AB）·h1，即S△ABC=AH·h1. 四邊形AKNM的面積可以用2S△AMN表示，所以S四邊形AKNM=AM·h2，接下來只要溝通這兩個表達式“AH·h1”和“AM·h2”相等即可，由CM∥NH，運用相似三角形的性質可貫通思路.

教學環節四：回顧小結

小結問題1：本課是從一個圓的教材習題出發，變式、拓展出一些較難問題，你對其中哪道問題留下了較深的印象？說說你是如何理解的.

小結問題2：圍繞這道圓的經典習題，你還能提出怎樣的問題？可先在小組交流，然后全班匯報展示.

作業：如圖7，AB為☉O的直徑，∠ACB的平分線交☉O于點D. 連接AD，BD. 作∠ABC的角平分線BI，交CD于點I.

（1）補全圖形，求證：DI=BD；

（2）設AB=2r，分析CI的最大值（用含r的式子表示）.

解法預設 這里第（1）問也源自一道教材習題，關鍵步驟是證明∠DIB=∠DBI，可利用三角形外角性質得出∠DIB=∠ICB+∠IBC，而∠DBI=∠DBO+OBI，再結合∠DBO=∠ICB=45°，∠ABI=∠CBI可以連通思路. 第（2）問是對第（1）問的“再深入”，發現點I在以點D為圓心、DI為半徑的一段圓弧上，如圖8，當DC′經過圓心O時，此時C′I′取得最大，即CI的最大值為（2-）r.

關于微專題教學的實踐與思考

第一，預設開放問題，促進學生提出問題

寧連華教授及其團隊在文［1］中指出“教師在備課時應根據課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設”.事實上，重視預設開放問題也是課堂留白的一種設問追求. 在上文課例中，我們在“問題1”第（1）、（3）問，“問題2”第（2）問以及“問題3”中都沒有使用“封閉式設問”，而是以開放式的“結構不良問題”為呈現方式，這樣的設問方式也是促進學生善于提出問題的學法指導. 考慮到解題教學的效率與學情關系密切，如果學情較好，我們在課堂小結階段還安排了更加開放的問題，讓學生圍繞圓的基本圖形自主提出問題并研究解題思路.

第二，預設鋪墊問題，促進學生學會思考

涂榮豹教授指出：“數學解題教學的任務，學生的主要任務并不是解題，而是‘學解題’. 并且通過學解題‘教學生學會思考’.”［2］以上文關注的圓的微專題教學為例，我們從一道教材經典習題出發，通過變式拓展，以三個“主問題”層層遞進，在前兩個“問題組”內部，設置了鋪墊式問題，以幫助學生在這些鋪墊問題的引導下，自主獲得后續問題的解題思路. 這樣的設計立意，不但促進學生學會解一類圓的經典題組，同時也是促進學生“學會思考”. 具體來說，就是要讓學生通過學習解答圓的系列習題，掌握如何分析較難問題，比如先回到題設想清能得到哪些信息，由題設中給出的一些基本圖形想到哪些重要定理或性質，并圍繞解題目標（求解方向）嘗試轉化、貫通思路.

第三，預設變式問題，促進學生學深悟透

解題教學中重視變式教學是很多教師的自覺追求，這在微專題課例研發中也是非常必要的. 比如，微專題教學選定某個主題或某個基本圖形之后，各個教學環節、系列問題都要圍繞主題進行變式設問，切不可離開主題或偏離基本圖形“太遠”，否則會影響教學目標的達成，也會使得全課教學的“內容效度”不高. 只有精準選題、恰當變式、融入微專題的教學主線，才能促進學生將一類問題學深悟透，達到深刻理解的程度. 順便指出，就微專題課例研發的不同類型來看，“一圖一課”“一題一課”等，都是基于變式教學的處置方式，能促進學生對一個圖形、一個主問題的豐富變式或拓展方向深度思考，以達到“做一題、會一類、通一片”的深度學習效果.

參考文獻：

［1］蔡甜甜，劉國祥，寧連華. 數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］. 數學教育學報，2018，12（6）：29-32.

［2］涂榮豹. 數學教學設計原理的構建：教學生學會思考［M］. 北京：科學出版社，2018.