探索數學的靈魂

王　前

如果人們真正了解數學，就會知道它決非一堆晦澀枯燥的符號的集合，而是一個有血有肉且有靈魂的機體。數學的血肉即數學蘊含的概念、原理、推論及其他關系，它們是數學工作者所熟悉的。數學的靈魂則是指存在于數學的血肉之中的思想方法，特別是其中的哲學思想觀點。它們看不見也摸不著，人們往往不夠熟悉，但它們卻深刻地影響著數學發展進程。研究數學中的哲學是探索數學的靈魂中的較艱難的工作。夏基松和鄭毓信通力合作寫出的《西方數學哲學》，是這一探索過程中值得重視的一本專著。

《西方數學哲學》討論了西方數學哲學研究中各主要理論問題，包括西方數學哲學的早期研究，數學基礎問題，悖論及其分析，數學的本體論問題，數學的真理性問題等。在概括數學哲學各主要流派觀點方面，這本書是很成功的。書中引用了大量取自原文的第一手資料，特別是各主要流派代表人物的一些代表作介紹了各主要流派的思想淵源和演變過程，以及各流派之間在評述對方觀點時出現的某些誤解。這樣，就勾劃出西方數學哲學各派別相互聯系和發展的一幅整體圖景，為今后從事數學哲學研究的人們提供了十分有益的理論線索。

這本書在分析的環節上著眼于揭示各主要數學哲學派別的本質特征，評價的環節著眼于揭示各派別對于數學發展的意義和作用，以及哲學上的是非問題。比如對于現代數學哲學中的直覺主義，以往學術界褒貶不一，過去有些學者曾把它單純看作“唯心主義”派別而完全否定，也有些人對其深刻性和徹底性推崇備至。而這本書則認為，數學哲學中的直覺主義以“直覺上的可構造性”作為“可信性”的唯一標準，而直覺主義者所說的“直覺”是一種“純主觀”的思維活動，直覺主義者的努力是把非構造性的數學(至少其中一個部分)化歸為構造性數學。書中指出，直覺主義在完全否定數學的客觀性，把“可構造性”作為“可信性”的唯一標準，把數學思想同語言形式絕對對立起來，力圖在構造性基礎上重建全部數學等方面，其基本立場都是錯誤的。但是，直覺主義的數學哲學蘊含一定合理成分，如強調數學思想與語言形式的區別，肯定數學的可變性和發展性，注意研究數學的可構造性，對傳統邏輯普遍有效性提出懷疑和否定，發展直覺主義邏輯，等等。這些合理成分對數學研究工作是有一定意義的。

西方數學哲學研究中至今還有許多尚未徹底解決的理論問題，有待人們進一步深入研究。在這些問題上取得進展，決非輕易之舉。以數學悖論為例，從一九○二年羅素提出集合論悖論以后，歷時八十多年，人們在這個問題上一直爭論不休。《西方數學哲學》分析了悖論的本質特征。書中指出，悖論的實質是“客觀實在的辯證性與主觀思維的形而上學性及形式邏輯化的方法的矛盾的集中表現。”(第174頁)具體地說，認識或理論的研究對象在本質上往往是辯證的，即是諸對立環節的統一體；然而，由于主觀思維方法上的形而上學性或形式邏輯化方法的限制，對立統一的環節被絕對地割裂開來。如果再把它們機械地重新聯結起來，對立環節的直接沖突就是不可避免的了，而這就是悖論。書中進一步分析了芒諾悖論、貝克萊悖論、邏輯——數學悖論、語義學悖論的具體特點，從不同方面論證了它們的共同性質。并且指出，由于悖論是客觀實際與主觀認識矛盾的集中反映，因此，從認識論的角度看，悖論的出現就不可能完全予以避免。悖論的解決是相對的，而這種解決對數學發展是有意義的，它表明對認識局限性的超越。上述觀點雖然不能說是對數學悖論問題的完全解決。但僅從哲學角度看，上述觀點還是把問題分析得相當透徹深入的，對人們進一步研究悖論問題是有啟發意義的。

此書也還有若干不夠完美之處，比如在評價現代西方數學哲學流派時，對邏輯主義、直覺主義、形式主義這幾個出現較早、影響較大的派別談得較多，而對近幾十年來出現的數學哲學新派別新觀點談得較少。象哥德爾、普特南、拉卡托斯等人的觀點，還是可以多花些筆墨的。另外，對于某些數學哲學觀點的分析評價，似乎比較注意運用辯證唯物主義哲學去研究其性質，而對西方數學哲學中合理成分給予哲學研究本身的借鑒和啟示談論不多。

(《西方數學哲學》，夏基松、鄭毓信著，人民出版社一九八六年一月第一版，2.10元)