不完備性定理：一切知識的中心

鄭毓信

一九七八年逝世的K.哥德爾教授是當代最杰出的數理邏輯學家，一位才華出眾的理論工作者。王浩教授曾這樣評論說，“哥德爾教授只從事于具有根本性的研究……他的工作導致了以往幾十年數學基礎研究中大多數主要部分的發展……哥德爾教授的工作使現代邏輯起了革命性的變化，極大地提高了它在數學和哲學方面的重要意義。”在哥德爾的各項研究中，一九三一年發表的不完備性定理具有特別重要的意義。它被譽為“數學和邏輯發展史中的里程碑”。而且，隨著人類文明的進步，不完備性定理正在表現出越來越廣泛、越來越深刻的影響，以致被稱為“一切知識的中心”。例如，著名物理學家J.惠勒在一九七四年發表的一篇文章中就曾斷言：“即使到了公元五○○○年，如果宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識的中心。”

那么，什么是哥德爾的不完備性定理呢？在以往很長的歷史時期內，人們始終存在這樣的信念，就是認為可以把任何一種數學理論(例如，自然數理論，歐氏幾何理論等)組織成一個“完備的”(和相容的)公理系統，也即可以找到這樣的有限多條公理(或公理模式)，從這些公理出發，按照一定的推理規則，可以“無一遺漏”地推出相應理論中的所有真命題(而且，所推出的也僅僅是真命題，從而，這一公理系統就是相容的，也即無矛盾的)。然而，哥德爾卻證明了這種信念是錯誤的，因為，他的不完備性定理所斷言的就是：任何足夠豐富的數學系統，如果是相容的，就一定是不完備的。這也就是說，對于足夠豐富的數學理論(在其中能夠發展起算術理論)來說，相應的公理系統(嚴格地說，是形式系統)必然或者是不相容的，或者是不完備的。

由于哥德爾的不完備性定理(以下簡稱“哥德爾的定理”)與傳統觀念是直接違背的，因此，在哥德爾發表了自己的定理以后，人們發表了大量的文章和著作，它們或者對哥德爾的定理及其證明思想進行解釋和分析，或者對哥德爾定理的實質及其普遍意義進行了剖析和論證。例如，在一九五八年出版的《哥德爾的證明》(英文版)一書中，作者E.耐格爾和J.紐曼就著重從數學的角度對哥德爾定理及其證明思想進行了分析；另外，在一九六三年發表的一篇論文中，邏輯學家M.杜墨特則圍繞自然數概念的語義分析對哥德爾定理的哲學意義進行了論述。然而，盡管存在大量的文章和著作，哥德爾的定理在少數專家圈子以外仍然很少為人們所了解：此外，雖然為數眾多的作者從各種不同的角度進行了分析，但他們普遍的看法仍然是：“我們尚未能夠完全把握住哥德爾定理的深遠意義。”

鑒于上述情況，D.霍夫施塔特的《GEB——一條永恒的金帶》一九七九年在美國引起轟動并獲得了普利策大獎，就不是偶然的了。因為，這一著作從一種全新的角度對哥德爾的定理進行了論述，而且，分析的深度也超過了先前的有關著作。

霍夫斯塔特是圍繞哥德爾定理來展開全書的論述的。但是，正如書名《GEB——一條永恒的金帶》(其中，G即是指哥德爾〔Gdel〕，E是指當代杰出的畫家埃舍爾〔Escher〕，B則是指古典音樂大師巴赫〔Bach〕)所表明的，作者并沒有單純地從數學的角度去進行分析，而是十分巧妙地把埃舍爾的畫、巴赫的樂曲及關于哥德爾定理的論述結合在一起，從而編織出了“一條永恒的金帶”。這條金帶發出的耀眼光輝不僅照亮了哥德爾定理及其證明思想，而且，它的更高價值就在于這一“連接”本身，即在于揭示出繪畫、音樂與數學這些似乎遙遠相隔的人類不同文化領域之間所存在的“驚人的一致性”。據傳，古希臘的畢達哥拉斯學派曾由于發現了諧音中所存在的“數的和諧性”而發展起了自己的哲學理論。他們發現產生各種諧音的弦的長度都是成整數比的。例如，當兩極繃得一樣緊的弦的長度的比是2：1時，就會發出相差八度的諧音；而如果兩條弦長的比是3：2，就會發出另一種諧音：短弦發出的音比長弦發出的音高五度；等等。上述發現給畢達哥拉斯學派的成員留下了極為深刻的印象，他們因此提出了“萬物皆數”的基本信條，并認為自己終于抓住了“世界最終的奧秘”。畢達哥拉斯學派的哲學理論是錯誤的；但是，新的發現，特別是關于在不同領域中所存在的共同規律的發現，的確能給人以新的啟迪，并誘發出深刻的思想。這事實上也就是《金帶》及哥德爾定理的根本意義之所在：它向我們提出了這樣的問題：這一“永恒的金帶”究竟說明了什么？

縱覽《金帶》一書，容易看到，一個貫穿始終的概念就是“層次”的概念。作者是在最廣泛的意義下應用這一概念的。例如，畫面中的不同水平面或不同的部分，樂曲中的主題與伴奏或不同的音部，原像與鏡像，錄制下來的聲音與真實的聲音，符號與意義，……這些都可以看成客觀事物中的不同層次。類似的還有，信息傳遞中的不同層次：結構消息，外部消息，內部消息；計算機中的不同層次：機器語言，匯編語言，編譯程序等；生命遺傳過程中的不同層次：DNA，蛋白質，……。另外，除去這種客觀的層次性以外，人類的認識活動也表現出明顯的層次性：對于同一個對象(如樂曲、繪畫等)可以從各個不同的層次上去理解(當然，認識的這種層次性正是客觀事物的層次性的反映；而且，它的直接物質基礎就是大腦結構的層次性)。最后，就哥德爾定理而言，其中也直接涉及到了兩個不同的層次：對象數學和元數學。在對象數學中，我們只是按照一定的法則由給定的前提出發去進行演繹；在元數學中，我們則對對象數學的整個邏輯結構作出判斷，如，“某某命題是可以證明的”，“這一理論是相容的”，等等。顯然，相對于對象數學而言，元數學是一個更高的層次。

客觀事物及認識過程的層次性或許早已為人們所熟悉；然而，哥德爾定理卻為我們揭示了問題的另一側面。那就是，在確認層次性的同時，我們還必須清楚地看到不同層次間的可滲透性；而且，正如《金帶》的作者所指出的，在很多的情況下，這種不同層次間的滲透性又表現為“層次的纏繞”(另外，如果著眼于某一層次的話，這就是所謂的“自我相關”)。這種層次的纏繞會造成什么樣的后果呢？一種直觀的印象是，這是一種混淆，從而就可能導致混亂、甚至荒謬。例如，主題與伴奏互相干擾就可能造成噪音；另外，正如埃舍爾的版畫《畫廊》及《三個球》等所表明的，畫中有畫，映象之中有映象，……這就會造成混亂。正因為“層次的纏繞”往往包含有“悖理”的含義，因此《金帶》中就稱之為“怪圈”；而且，正如作者所指出的，哥德爾的定理實質上也就是一個怪圈。具體地說，在這一定理的證明中，哥德爾首先通過映射實現了對象數學與元數學這樣兩個層次的互相纏繞，從而使得對象數學中的命題獲得了雙重的意義：它們既是對象數學中的命題，同時又具有元數學的意義；其次，哥德爾又構造出了這樣一個“自我相關”的命題G，它所斷言的就是自身的不可證明性。從而，G就是一個不可證明的真命題。因為，

一、如果G可以證明的話，G必然為真；而依據G的(元數學)意義，這也就意味著：G是不可證明的，矛盾(從而，依據理論是相容的假設，G就是不可證明的)。

二、正因為G是不可證明的，因此，依據G的意義，G就是個真命題。這樣，G的構成就證明了系統的不完備性；而結論的普遍性(這里的主要條件就在于：對象理論必須足夠豐富以保證建立所說的映射)則又說明了“在數學理論中是無法將怪圈徹底地排除出去的”。一般地說，《金帶》的作者還通過大量實例的分析引出了這樣的結論：“怪圈不僅不是一種罕見的現象，而且在許多場合里是不可避免的。它是許多復雜系統的共同特點”。這也就是說，“無論是大腦思維，無論是人工智能，無論是嚴密的數學，無論是抽象的音樂，也無論是形象的美術，……都無法擺脫奇妙的怪圈。”

那么，這種“驚人的一致性”究竟意味著什么呢？或者說，究竟什么是哥德爾定理的普遍意義呢？考慮到哥德爾定理是數學對自身進行“反省”，即是用數學推理對數學推理自身進行探究的結果，《金帶》的作者也就主要從認識論的角度對此進行了分析，即著重討論了“哥德爾的理論為我們理解自己的思維提供了什么啟示”的問題。作者的觀點是：思維過程(及其物質基礎——大腦)是包含有極其復雜的層次結構的，而這些層次的相互纏繞(例如，上面的層次是靠底下的層次來支持的，但是又返回來影響和控制底層的活動)則就是思維活動的關鍵所在。作者的這一分析是具有重要意義的。例如，從理論的角度說，以此為依據就可進而去討論人類能否完全認識某些事物(相應地，能否完全把握某些概念)的問題。作者認為，客觀事物中存在有兩種不同的性質：“符號型性質”和“語義型性質”，前者并不涉及到多層次的認識結構，后者的認識則依賴于多層次的認識結構；由于多層次的結構具有無限豐富的內容，因此要完全認識語義型的性質(或者說，把握住相應的概念，如真、美等)就是十分困難的(然而，應當補充的是，我們仍可通過發展更高層次的認識及不同層次的相互滲透來不斷深化我們的認識)。另外，從應用的角度說，上述的分析則又為人工智能研究的深入發展指明了方向：這種發展的關鍵就在于，如何去創造更高層次的描述，同時又努力去填平在不同層次間所存在的“鴻溝”。顯然，在這樣的意義上，層次的纏繞所具有的就不只是消極的意義了。這也就是說，如果我們仍然把這種“層次的纏繞”說成是“怪圈”的話，那么，這種怪圈就不再是“偽、惡、丑”，而是一種更高層次上的“真、善美”。事實上，正如《金帶》的作者所指出的，在巴赫的樂曲及埃舍爾的作品中，我們也可感受到這種更高層次上的美。例如，巴赫的《音樂的奉獻》就是一個典型的例子。其中，巴赫用一種特殊的技巧構成了一個怪圈：它由三個音部所組成，當最高音部演奏主題時，其余兩個音部提供卡農式(某種意義上的“重復”)的協奏；然后，通過多次的變調，在結尾處樂曲又平滑地回到了開頭。而且，它的成功之處就在于，這一怪圈并沒有給人以不和諧的感覺；恰恰相反，它卻使人產生了一種不斷增高的感覺。此外，埃舍爾則用繪畫的形式表現了這種和諧性。他的《逆行(蟹式)卡農》被說成“一支看得見的樂曲”，其中，“伴句的旋律與導句的旋律保持逆行的關系，然而，一切(又)是那樣協調、自然。”事實上，《金帶》一書本身也清楚地表明了這樣一點：它所揭示的在藝術、數學等大相徑庭的領域中所存在的驚人的一致性顯然就表明了更高層次上的和諧性(這樣，這種借助于層次的纏繞得以表現的和諧性，與前述的混亂性也就構成了一個怪圈)。

由于《金帶》一書涉及到了音樂、繪畫、數學、人工智能、遺傳機制等如此廣泛的領域，霍夫斯塔特的原著就是一部巨著。為了使更多的讀者能夠從這一出色的著作中得到教益，樂秀成同志將它翻譯并改寫成了一部篇幅不大的書。這一工作凝聚了編譯者的創造性勞動，無疑是十分有意義的。由于編譯后的《金帶》仍然不可避免地涉及到了分布于各個不同領域的大量概念，更由于作者的思想是如此的新穎、深刻，因此，誠如樂秀成同志在《序言》中所說，“要想不費功夫或者較輕松地讀通它仍然是做不到的。……(也)不能指望大部分人讀一遍就能看懂全書的內容。”但筆者認為，這仍是一部值得讀書界反復閱讀、仔細領悟的好書。

最后，筆者愿在這里附帶指出《金帶》一書中的一個小錯誤。在該書第8頁中，作者談到了“愛皮梅尼特悖論”，但這事實上并不是一個嚴格意義上的悖論。因為，由愛皮梅尼特的斷言(“所有的克里特島人都撒謊”)為假，并不能推出“作為克里特島人的愛皮梅尼特就沒有撒謊”的結論，并只能推出“并非所有的克里特島人(在任何時候)都是撒謊的”。從而，如果克里特島上除去愛皮梅尼特還有其他人的話(或者說，愛皮梅尼特除去上述斷言還作過別的判斷的話)，愛皮梅尼特所說的這句話就可能為假而不會導致矛盾。

(《GEB——一條永恒的金帶》，〔美〕道·霍夫斯塔特原著，樂秀成編譯，四川人民出版社一九八四年六月第二次印刷，1.07元)