開放探究型問題解析

李帥領

開放探究型問題常常是條件不完備或結論不明確，解題方法和依據往往不唯一.需要同學們深入探究，尋找解題規律方可求解.

例1 （2017·黔東南）如圖1，點B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當的條件使得△ABC≌△DEF.

【分析】本題要判定△ABC≌△DEF，已知FB=CE，AC∥DF，即間接告知我們：BC=EF，∠ACB=∠DFE，那么可以構造“SAS”“AAS”“ASA”來解決問題.

解：∵FB=CE，∴BC=EF.

又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE.

（1）當∠A=∠D時，

故答案為∠A=∠D或AC=DF或∠B=∠E.

【點評】本題考查三角形全等的判定，先找出題目中的已知條件，再選擇合適的判定條件.

例2 （2017·日照）如圖2，已知AB=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足為E.

（1）求證：△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一個條件，即 ，可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.

圖2

【分析】（1）由“SSS”證明△DCA≌△EAC即可；（2）要證明四邊形ABCD是矩形，只要在AB=DC的基礎上，添加條件使得四邊形ABCD為平行四邊形，再由全等三角形的性質得出∠D=∠E=90°，即可得出結論.

（2）添加AD=BC，可使四邊形ABCD為矩形.理由如下：

∵AB=DC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵CE⊥AE，∴∠E=90°，

由（1）得：△DCA≌△EAC，

∴∠D=∠E=90°，∴四邊形ABCD為矩形.

【點評】本題考查平行四邊形的判定，先找出題目中的已知條件，再選擇合適的判定條件.

例3 （2017·北京）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉）得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過程：.

圖3

【分析】根據旋轉、平移的性質即可得到由△OCD得到△AOB的過程.

解：△OCD繞C點順時針旋轉90°，并向左平移2個單位得到△AOB（答案不唯一）.

【點評】本題考查了坐標與圖形的變換.解題時需要注意：平移的距離等于對應點連線的長度，對稱軸為對應點連線的垂直平分線，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角.

例4 （2017·淮安改編）【操作發現】如圖4，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上.

圖4

（1）請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；

（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B= .

【問題解決】如圖5，在等邊三角形ABC中，AC=7，點 P在 △ABC 內且 ∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積.

圖5

【分析】【操作發現】（1）根據旋轉中心、旋轉角、旋轉方向畫出圖形即可；（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可.【問題解決】將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問題.

解：【操作發現】（1）如圖6所示；

圖6

（2）∵AB=AB′，∠B′AB=90°，

∴∠AB′B=45°.

【問題解決】如圖7，∵將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，則△APP′是等邊三角形.

圖7

∴∠AP′P=∠APP′=60°，

∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，

∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=90°，

∠P′PC=∠APC-∠APP′=30°，

【點評】本題是一道三角形綜合題，需要我們深入理解和探索“操作發現”的方法，尋求規律解決問題.