基于雙光柵衍射成像顏色信息傳遞特點的研究

黃萌 張衛平

【摘 要】本文利用顏色表征RGB模型，從基本的光傳播理論和光柵衍射性質出發，研究了雙光柵衍射成像中顏色信息的傳遞的特點，得到了匯合光譜的光譜分布函數的公式，從而分析匯合光譜所表現出來的顏色信息。結合雙光柵衍射成像方程，分析了兩片光柵的衍射性質對匯合光譜的分布函數的影響。分析表明兩片光柵的空間頻率及衍射級數的選取與匯合光譜中各頻率光所占比重息息相關，從而影響物象顯示的顏色。通過分析比較不同情況下的雙光柵衍射成像效果，實驗結果與理論分析基本一致。

【關鍵詞】衍射與光柵;雙光柵衍射成像;匯合光譜;匯合光顏色

0 引言

目前人們熟知的“光柵成像”一般指的是泰伯效應和勞效應，它們所成的像為光柵自成像。而2006年報道了一種新型的光柵成像——雙光柵衍射成像，它是指物光波經過兩光柵兩次衍射后形成原物虛像的過程。目前的文獻報道雙光柵衍射成像的相關理論分析都是站在光學的角度研究其成像原理及光能量大小，并未以信息處理的角度去分析匯合光譜的組成。任何的光學成像系統都可以看作是信息傳遞及處理的過程，雙光柵衍射成像也是如此。在雙光柵衍射成像過程中，攜帶物體信息的物光波經過第一片光柵G1后色散成各級物光譜波，當其中某級物光譜波再進入第二片光柵G2并滿足匯合光譜條件時，在光柵G2后形成的各級光譜中得到某級匯合光束，由該匯合光束可觀察到原物體圖像。

本文就是以雙光柵衍射成像系統為研究對象，重點研究該系統成像過程中顏色信息傳遞的特點。根據描述彩色圖像的RGB模型理論和雙光柵衍射成像的成像原理，計算通過雙光柵衍射成像系統后匯合光譜中R、G、B三原色的刺激量并與其原圖像的三原色刺激量比較，從而得出此系統顏色信息傳遞的特點，以便進一步擴大其應用范圍。

1 雙光柵衍射成像系統顏色信息傳遞特點的理論分析

1.1 顏色定量表征

定量表征彩色圖像中的顏色通常可以用RGB（紅、綠、藍）模型，各種強度的RGB光混合在一起就會產生各種不同顏色。一般的顏色并不是簡單的光譜色，而往往是由多種光譜色組成的。設待測光的光譜分布函數為φ（λ），而對應于各個波長的光譜三刺激值為r（λ），g（λ）和b（λ），由混色原理可以計算出該待測光的三刺激值[7]：

R=Kφ（λ）r（λ）dλ

G=Kφ（λ）g（λ）dλ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

B=Kφ（λ）b（λ）dλ

再由上式可以求得待測光顏色的色品坐標。根據CIE標準色度系統，光譜三刺激值、色品坐標和色拼圖就可以計算和表征任何一種顏色。

1.2 雙光柵衍射成像中顏色信息的定量表征

雙光柵衍射成像的基本原理見圖1所示，O為被白光照射的物體中某一點， G1 和G2是兩個等周期的衍射平面光柵，P是擋光板。在此系統中物體的顏色信息是由白光照射物體后的反射光譜所組成，為了研究方便，假設反射光譜為白光光譜，即O點可認為是白光點光源，其光譜分布函數為φ（λ）。包含有顏色信息的白光射向第一片光柵G1，該光柵將其衍射成各級物光譜波，其中k1級按物光譜排列的各色光入射到第二片光柵G2上并滿足k2級匯合光譜條件時，經G2出射的第k2級光譜各色光束匯合在一起，從匯合光束中可以看到原物的圖像。此時，兩光柵的空間頻率、衍射光級數和放置位置滿足[1]：

=-w ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

式中k、1/d、z分別為光柵G1的衍射級數、空間頻率和G1至O的垂直距離;k2、1/d2、z2分別為光柵G2的衍射級數、空間頻率和G2至O的垂直距離;負號表示光束經過兩光柵衍射后的衍射光級數符號相反;w是系數，當兩光柵平行放置時，w≈1。本文分析w=1，兩光柵平行放置時較簡單的情況。

圖1 雙光柵衍射成像系統的成像原理示意圖

Fig.1 Schematic diagram of bi-gtating diffraction imaging

建立如圖1的坐標，由物點O發出的光束以不同角度入射光柵G1，因而到G1前的光強度不同，則會影響通過G1衍射后不同頻率的各色光強度，同時光柵G2后能夠實現匯合光束的不同頻率的光束在入射G2前路徑不同，從而影響匯合光譜中各頻率光束的分布。另外，匯合光譜是由兩片光柵的衍射所形成，因而匯合光譜的分布還與兩片光柵G1、G2的衍射特性有關。根據匯合光譜的光譜分布就可以利用混色原理計算出三刺激值，從而確定物象顏色信息在傳遞過程中與什么因素有關。

為了計算方便，設白光光譜的中心波長為黃綠光λG，且此光波通過光柵G1后入射角等于衍射角。若物點O出射的白光光譜光譜分布函數為φ（λ），則其出射光強為：

I=φ（λ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

經過光柵G1色散后的第k1級光譜再經過光柵G2第k2級衍射形成匯合光譜后的光強為：

I=ηk（λ）ηk（λ）=φ'（λ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中ηk（λ）、ηk（λ）分別為光柵G1第k1級的衍射效率和光柵G2第k2級的衍射效率，R（λ）為從物點O發出的不同頻率光束到達光柵G1前的傳輸距離，r（λ）為經過光柵G1衍射后的第k1級物光譜波中不同頻率光束到達光柵G2前的傳輸距離，φ'（λ）為匯合光譜的光譜分布函數。

由上式可知匯合光譜的光譜分布函數與雙光柵的衍射效率和各頻率光束的傳輸路徑有關。雙光柵的衍射效率是兩片光柵固有的特性，而各頻率光束的傳輸路徑的改變會影響匯合光譜的光譜分布。因而為了進一步了解雙光柵衍射成像中匯合光譜情況，需對各頻率光束的傳輸路徑進行進一步的計算。根據白色光譜中中心波長黃綠光的雙光柵衍射情況及實現匯合光譜要求（經光柵G1色散后形成的第k1級物光譜波通過光柵G2后的各頻率光束的出射角相同），可計算出第k1級物光譜中不同頻率光束入射光柵G2時的入射角θ2滿足：

sinθ2=λ-λ1- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

則r（λ）==z-z ? ?（6）

而第k1級物光譜中不同頻率光束是由物點O以不同角度入射到光柵G1上后衍射所得到的。第k1級物光譜中不同頻率光束對應的白光入射到光柵G1上的入射角θ1滿足：

sinθ1=-sinθ2=-λ+1- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

則R（λ）==z ?（8）

根據公式2可將式6和式8化簡為：

r（λ）=-1z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

R（λ）=z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

式中K=，K=。由式9和式10可知，匯合光譜的光譜分布函數與兩片光柵衍射級數和空間頻率的乘積有關，因而兩片光柵衍射級數和空間頻率的乘積的改變會影響通過在雙光柵衍射成像系統所成物象的顏色。

2 雙光柵衍射成像系統顏色信息傳遞特點的實驗分析

根據式4、9、10，當兩片光柵空間頻率一定，物點距第一片光柵G1的距離一定及光柵G1的衍射級數一定，即z1、K不變，則匯合光譜的光譜分布函數就由K決定。根據式9可得出若K增大，r（λ）的變化分為兩種情況：1）當λ>1-λ時，r（λ）會隨著K增大而減小;2）當λ<1-λ時，r（λ）隨著K增大變化不大，可認為不變。雙光柵衍射成像系統中第一片光柵主要起色散作用，因而一般第一片光柵都選取高線數的光柵，使物光譜色散成的各級物光譜波相距一定距離，以便進入到第二片光柵實現匯合光譜作用，即K>K。根據式10可得出若K增大，R（λ）的變化也分為兩種情況：1）當2K>K時，R（λ）隨著K增大變化不大，可認為不變;2）當2K

以上的分析結果很好地在實驗中得到了驗證。圖2展示的是經過雙光柵衍射成像系統后得到的物體圖象[1]。圖（a）和圖（b）是在兩片光柵的空間頻率分別為600L/mm和100L/mm，k=1的情況下拍攝的，只是光柵G2的衍射級選取不同，其中圖（a）k=2，圖（b）k=1。

圖2 雙光柵衍射成像效果圖

Fig.2 The pictures of bi-grating diffraction imaging effect

由于兩片光柵的空間頻率分別為600L/mm和100L/mm，則在圖（a）和圖（b）兩種情況下都滿足2K

表1 金黃色系列RGB顏色對照表

Tab. 1 The RGB color comparison table of the series of golden color

3 結論

利用顏色表征RGB模型和基本的光傳播理論研究了雙光柵衍射成像中顏色信息的傳遞的特點，得到了匯合光譜的光譜分布函數的公式。分析表明當兩片光柵空間頻率一定，物點距第一片光柵G1的距離一定及光柵G1的衍射級數一定，即z1、K不變時，匯合光譜的光譜分布函數就由K決定，隨著K增大，低頻率的光在匯合光譜中所占比重會發生變化，從而影響匯合光譜中物象的顏色。因此要獲得更好的原物顏色還原，要根據物體主體顏色選擇光柵的空間頻率和衍射級數。當雙光柵衍射成像系統中兩片光柵的空間頻率相差很大時，如果物體顏色偏紅色或黃色，第二片光柵的衍射級數可選大一點。如果物體衍射偏青色或藍色，第二片光柵的衍射級數可選小一點。實驗結果和理論分析基本一致，該結果對雙光柵衍射成像系統的具體應用具有實際參考意義。

【參考文獻】

[1]Zhang WeiPing，He XiaoRong.The spectral combination characteristic of grating and the bi-grating diffraction imaging effect[J].Science in China Series G：Physics Mechanics and Astronomy，2007，50（1）：1672-1799.

[2]He Xiaorong，Zhang Weiping.Analysis of the bi-grating diffraction imaging effect by Fresnel diffraction theory[J].Acta Optica Sinica，2007，27（8）：1371.

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