三重積分的廣義球坐標變換及其實例

王文軒 李軍燕

摘要：本文在已有的定積分還原法的理論基礎上，引入三重積分換元法并利用三重積分換元法，得到了三維廣義球坐標計算三重積分以及簡單推廣到四維球體。

關鍵詞：定積分;三重積分;換元法

中圖分類號：O172

1.引言

眾所周知，不定積分和定積分的換元法是高等數學的重點和難點，它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來，可以通過引進中間變量使原式簡易，從而求得較復雜的不定積分和定積分，文獻[1-4]對此有較詳細的探討。

以由定積分的換元積分法為基礎，我們可以想到二重積分，三重積分以及n重積分是否同樣有著換元積分法呢？ 事實上，我們已知的二重積分由極坐標變換，三重積分有柱坐標變換和球坐標變換，而這些變換即為特殊的重積分換元法。

本文受已有的重積分換元法和文獻[5，6]的啟發，引入三重積分換元法，并利用三重積分換元法定理得到三維廣義球坐標換元法，同時結合實例給出驗證。

引理1 設變換把空間的區域一對一映成空間中的區域，并設函數及它們的一階偏導數在內連續且雅克比行別式：

3. 推廣與應用

根據上述理論和已有的知識，不難找出維球坐標的變換，同時引理1中換元法不僅適合于球坐標，更適合于以下兩種情況：①被積函數不易積分;②積分區域難以表示，而三重積分換元法如何適用于更一般的坐標變換，將是我們下一步的研究方向。

參考文獻：

[1]張啟峰.由重積分的坐標變換透視微元法[J].高等數學研究，2020，23（02）：52-55.

[2]秦國紅.不定積分中第二類換元積分法的一類常見問題解析[J].課程教育研究，2019（46）：256.

[3]趙軒.換元法在高等數學解題中的應用[J].海峽科技與產業，2019（06）：145-146.

[4]周雙.淺談不定積分的第一類換元法[J].數學學習與研究，2019（06）：18.

[5]徐晨.多重積分換元法[J].高等數學研究，2018，21（02）：15-16+25.

[6]黃昌盛.三重積分的換元法的應用[J].科教導刊（中旬刊），2019（29）：67-68.

1.四川大學錦城學院 計算機與軟件學院

2.四川大學錦城學院 通識教育學院 四川 成都 611731