柔度矩陣與剛度矩陣的關系的一種證明

吳明

摘 要：在學習過程中學生對柔度矩陣與剛度矩陣中的系數(shù)是否有倒數(shù)的關系產(chǎn)生困惑，同時鑒于結構力學教材未給出柔度矩陣與剛度矩陣的可逆性證明，本文利用虛功原理證明了柔度矩陣與剛度矩陣互為可逆，同時也揭示了柔度矩陣與剛度矩陣中的系數(shù)沒有互為倒數(shù)的關系。

關鍵詞：柔度矩陣；剛度矩陣；倒數(shù)

0 引言

眾所周知，在現(xiàn)有的結構力學教材中，課本直接給出了柔度矩陣與剛度矩陣互為倒數(shù)的關系，或者利用剛度法或柔度法建立振型方程，從而說明柔度矩陣與剛度矩陣互為倒數(shù)的關系。本文作者直接利用虛功原理證明柔度矩陣與剛度矩陣互為倒數(shù)的關系。

1 功的互等定理

定理：在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12 等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。

位移互等定理：由單位荷載FPi=1所引起的與荷載FPj相應的位移δji等于由單位荷載FPj=1所引起的與荷載FPi相應的位移δij。

反力互等定理：支座 i發(fā)生單位廣義位移⊿i=1時，引起的 j 支座沿⊿j方向的反力kji，恒等于支座 j發(fā)生單位廣義位移⊿j=1時，引起的 i 支座沿⊿i方向的反力kij。

2 柔度矩陣與剛度矩陣的關系的一種證明

圖1為一多自由度系統(tǒng)，其中圖1（a）為系統(tǒng)僅i點發(fā)生單位位移的振動曲線，其中kij為i點發(fā)生單位位移需要在j點施加的力。圖1（b）為系統(tǒng)在i點施加單位力的作用下振動曲線，其中δji為i點作用單位力j點發(fā)生的位移。圖1（c）為系統(tǒng)在j點施加單位力的作用下振動曲線，其中δij為j點作用單位力i點發(fā)生的位移。

圖1（a）中根據(jù)反力互等定理可知：kij=kji；圖1（b）、（c）中根據(jù)位移互等定理可知：δij=δji；本文已經(jīng)將kij=kji 及δij=δji標注在圖上。

如圖1所示，狀態(tài)（a）上的力因狀態(tài)（b）上的位移所做的外力虛功可表示為：

3 結束語

動力學中柔度矩陣與剛度矩陣互為可逆，但是柔度矩陣與剛度矩陣中的元素并不一定互為倒數(shù)。

參考文獻

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