一種提升均勻自由度的優(yōu)化層次嵌套陣列設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TN911.72 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：To improve the uniform degrees of freedom，an optimized hierarchical nested array is proposed in this paper.By optimizing the element layout of the subarrays of traditional nested arrays，a hierarchical array structure is constructed，which effectively diminishes the redundancy within the difference co-array and considerably raises the uniform degrees of freedom. Theoretical analysis shows that the array can provide higher uniform degrees of freedom than the traditional nested array and other sparse arrays under the same number of array elements.It can be seen from the experimental results that the array put forward herein presents significant advantages regarding the performance of direction of arrival estimation and uniform degree of freedom，thereby confirming the effectiveness and rationality of its design.

Key words：nested array; direction of arrival estimation;uniform degrees of freedom； spatial smoothing；sparse array

0 引言

域應(yīng)用廣泛，均勻線性陣列（UniformLinearAr-ray，ULA）是最早應(yīng)用的陣列，該陣列的配置簡單且呈線性結(jié)構(gòu).根據(jù)奈奎斯特采樣定理，一個(gè)具有波達(dá)方向估計(jì)在現(xiàn)代導(dǎo)航及雷達(dá)探測等領(lǐng)Q 個(gè)陣元的ULA最多只能分辨出 Q-1 個(gè)人射信源.然而，在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常需要處理數(shù)量龐大的入射信源，這就需要更多的陣元，由于ULA的陣列孔徑有限，在復(fù)雜的場景下需要配置更多的陣元，導(dǎo)致無法滿足高分辨和抗干擾的需求.

為了解決陣列孔徑受限等問題，研究人員提出了稀疏陣列，該陣列能夠在有限數(shù)量的物理陣元下實(shí)現(xiàn)更高數(shù)量的均勻自由度，為復(fù)雜場景下的波達(dá)方向估計(jì)提供了新的思路與方法.早期著名的稀疏陣列包含最小冗余陣列（MinimumRedundantAr-ray，MRA）[2]、互質(zhì)陣列（Coprime Array，CA）[3]及嵌套陣列（NestedArray，NA）[4].MRA通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成一組數(shù)作為陣元的位置，其通過增大相鄰陣元間距實(shí)現(xiàn)陣列稀疏化，從而顯著提升了陣列自由度；然而由于陣元位置具有隨機(jī)性，MRA難以用確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行描述.CA的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為簡潔，然而其差分共陣中存在空洞，導(dǎo)致波達(dá)方向估計(jì)的性能顯著下降.NA的陣元位置可以用確切的數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)，通過將一階陣列與二階陣列進(jìn)行嵌套設(shè)計(jì)，其對應(yīng)的差分共陣中不存在空洞.

隨著系統(tǒng)性能要求的不斷提高，研究重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的稀疏陣列配置，以獲得更高的自由度.文獻(xiàn)[5]提出了兩種新型互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)：壓縮元素間距的互質(zhì)陣列（CoprimeArraywithCompressed Inter-Element Spacing，CACIS）和移位子陣列的互質(zhì)陣列（CoprimeArraywithDis-placedSubarrays，CADiS），通過引人壓縮因子靈活控制相鄰陣元間距，有效提升了均勻自由度，但其差分共陣中存在空洞；文獻(xiàn)[6」的二階增強(qiáng)型嵌套陣列（The Second Augmented Nested Array，ANA-2）通過調(diào)整陣元間距，在保持稀疏性的同時(shí)顯著擴(kuò)展了均勻自由度，并降低了互耦效應(yīng)；文獻(xiàn)[7］的精簡互質(zhì)陣列（Thinned Coprime Array，TCA）通過剔除冗余陣元，在保持與CA相同均勻自由度的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化；文獻(xiàn)［8]的填充互質(zhì)陣列（Padded CoprimeArrays，PCAs）引人了CADiS的變體tCADiS，通過填充子陣列空洞擴(kuò)展了差分共陣列的連續(xù)數(shù)段；文獻(xiàn)［9]的擴(kuò)張嵌套陣列（DilatedNestedArrays，DNA）通過優(yōu)化子陣列配置并使用最優(yōu)子陣數(shù)目，顯著提升了陣列的均勻自由度；文獻(xiàn)［10]中無孔嵌套陣列（Nested ArraywithThreeSub-ULAs，NA-TS）采用分層嵌套的子陣列結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了更高的均勻自由度；文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步通過重構(gòu)NA子陣列，提出了一階廣義增強(qiáng)多子陣列嵌套陣列（GeneralizedAugmentedMulti-subarray Nested Array，GAMSNA-I），使均勻自由度得到進(jìn)一步提升.

互質(zhì)陣列在波達(dá)方向估計(jì)中具有重要應(yīng)用價(jià)值，但其差分共陣列中的空洞問題制約了估計(jì)精度.相比之下，嵌套陣列雖避免了空洞缺陷，但其均勻自由度仍有優(yōu)化空間.針對這一問題，本文基于嵌套陣列的配置特性，創(chuàng)新性地重構(gòu)陣元排布方式，提出了一種優(yōu)化層次嵌套陣列（OptimizedHi-erarchicalNestedArray，OHNA）.與傳統(tǒng)嵌套陣列相比，OHNA具有以下優(yōu)勢：（1）采用多層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，顯著提升了陣列的空間利用率；（2）具有明確的結(jié)構(gòu)表達(dá)式，便于理論分析與實(shí)際應(yīng)用；（3）能夠?qū)崿F(xiàn)更高的均勻自由度，有效提升估計(jì)性能.通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該陣列的優(yōu)越性能.在實(shí)際應(yīng)用中，OHNA可廣泛應(yīng)用于雷達(dá)探測、智能交通系統(tǒng)（ITS）及5G通信等領(lǐng)域，能夠提升多目標(biāo)檢測與定位精度，為高密度信號(hào)環(huán)境下的實(shí)時(shí)處理提供可靠技術(shù)支持.

1稀疏陣列信號(hào)模型及理論基礎(chǔ)

假設(shè)存在一個(gè)陣元間隔為 d 的 Q 元稀疏陣列，陣元的位置集合為 …，Q} ，其中 表示人射信號(hào)的波長， Z 為整數(shù)集合.設(shè)有 U 個(gè)來自方向集{θ₁，θ₂，…，θ_U} 遠(yuǎn)場窄帶不相關(guān)信號(hào)作用于該陣列，在 Ψ_t 時(shí)刻接收信號(hào)的模型[12]可表示為：

X（t）=As（t）+n（t）

式（1）中： A=[ω₁，ω₂，…，ω_U] 為陣列流形矩 陣； 為導(dǎo)向向量； s（ε_t） 為信源向量; 為噪聲向量.

接收信號(hào) X（t） 的協(xié)方差矩陣為：

R_X=AR_SA^H+σ_n²I_Q

式（2）中： R_S 為信源的協(xié)方差矩陣； I_Q 為單位矩陣.

接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣 R_X 通過矢量化后得到一個(gè)列向量，表示為：

式（3）中： r 為信號(hào)源功率向量； I_q 為矢量化后的噪聲向量； 為差分共陣列的陣列流形矩陣；“。\"為Khatri-Rao 積.

其對應(yīng)的差分共陣列為：

如果要準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)的波達(dá)方向，可以結(jié)合基于空間平滑的子空間類算法[13，14]，還可以結(jié)合基于壓縮感知[15的方法，進(jìn)而提高波達(dá)方向估計(jì)的性能.

2稀疏嵌套陣列與所提出的優(yōu)化層次嵌套陣列

2.1嵌套陣列配置

圖1展示了二階嵌套陣列的配置，該陣列由兩個(gè)線性陣列嵌套組成：一階陣列包含 N₁ 個(gè)陣元，陣元間距為 d ，排列緊湊；二階陣列包含 N₂ 個(gè)陣元，陣元間距為 （N₁+1）d ，間隔較大.

圖1嵌套陣列的配置

嵌套陣列的總陣元數(shù)為 N=N₁+N₂ ，其陣元位置集合以第一個(gè)物理陣元為起點(diǎn)，按升序排列表示為：

P={0，d，…，（N₁-1）d，N₁d，…，

（（N₂-1）（N₁+1）-1）d}

根據(jù)式（5），通過對集合元素求差并去除重復(fù)項(xiàng)，可得到嵌套陣列的差分共陣列.由于該差分共陣列不存在空洞，能夠生成連續(xù)段.因此，差分共陣列中連續(xù)段的數(shù)目對應(yīng)均勻自由度的數(shù)量，其最大值可達(dá)到 2N₂（N₁+1）-1 .這意味著嵌套陣列僅需 N₁+N₂ 個(gè)物理陣元即可在虛擬域構(gòu)建一個(gè)包含 2N₂（N₁+1）-1 個(gè)虛擬陣元的均勻陣列.與物理陣列相比，虛擬域陣列顯著增加了可用陣元數(shù)量，從而大幅提升了波達(dá)方向估計(jì)性能.通過數(shù)學(xué)不等式分析，可推導(dǎo)出嵌套陣列實(shí)現(xiàn)最大均勻自由度時(shí)，一階與二階陣列的數(shù)量關(guān)系：

圖3 N₁=8 和 N_?=8 時(shí)的優(yōu)化層次嵌套陣列

以7元嵌套陣列為例說明其布陣策略.如圖2所示，一階陣列的陣元位置為 {0，1，2} ，二階陣列的陣元位置為 {3，7，11，15} .通過對兩階陣列元素求差得到的差分共陣列，新增了 {4，5，6} 、{8，9，10} 和 {12，13，14} 三個(gè)連續(xù)段，填補(bǔ)了二階陣列的空洞.這些連續(xù)段等效于一階陣列分別向右平移4、8和12個(gè)單位，使得7個(gè)物理陣元即可實(shí)現(xiàn)15個(gè)均勻自由度.經(jīng)過平移變換，最終可獲得一個(gè)完全連續(xù)的虛擬均勻線性陣列.

圖2 N₁=3 和 N₂=4 時(shí)的嵌套陣列

2.2 所提出的OHNA結(jié)構(gòu)

受嵌套陣列布陣策略的啟發(fā)，通過重構(gòu)陣元位置，提出了一種多層次陣列結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步拉長差分共陣列，以此實(shí)現(xiàn)更高的均勻自由度.所提出的陣列OHNA滿足陣元數(shù) N?16 ，其陣元位置集合為：

S_OHNA=S₁∪S₂∪S₃∪S₄∪S₅

式（7）中：子陣列的閉合表達(dá)式為：

根據(jù)式（7）和式（8），OHNA的陣元數(shù)為 N₁+ N₂ .圖3展示了16陣元OHNA的配置結(jié)構(gòu)，其子陣列的位置分別為： S₁={0，1，3} ， S₂={8，17，26，35 44，53，62，71} ， S₃={75} ， S₄={77} ， S₅={81，82 .83}.子陣列的元素通過差分運(yùn)算生成后向和前向互延遲集合，進(jìn)而構(gòu)建差分共陣列.顯然，所提出的陣列OHNA僅需16個(gè)物理陣元即可實(shí)現(xiàn)167個(gè)均勻自由度，較傳統(tǒng)稀疏陣列顯著提升了均勻自由度，從而有效提高了波達(dá)方向估計(jì)的分辨率.

性質(zhì)1對于 N₁?8 ， N₂?8 的整數(shù)，OHNA的均勻自由度可以達(dá)到 2（N₁+1）（N₂+ 1）+5 ：

證明：由于OHNA差分共陣列中前后向互延遲集合中的元素關(guān)于位置0對稱，因此只需推導(dǎo)正值部分的連續(xù)數(shù).根據(jù)式（8），子陣列元素的差分計(jì)算結(jié)果如下：

（1）通過對一階陣列進(jìn)行差分運(yùn)算，可得：

（2）通過對二階陣列進(jìn)行差分運(yùn)算，可得：

（3）通過對三階陣列進(jìn)行差分運(yùn)算，可得：

（4）通過對四階陣列進(jìn)行差分運(yùn)算，可得：

（5）通過對五階陣列進(jìn)行差分運(yùn)算，可得：

diff（S₅，S₅）={0，1，2}

將式 （9）～（13） 進(jìn)行整合，可以得到從0到（N₂+1）（N₁+1）+2 連續(xù)的整數(shù)，利用OHNA差分共陣列的對稱性，可得該陣列均勻自由度的個(gè)數(shù)為 2（N₁+1）（N₂+1）+5 ：

證畢.

性質(zhì)2當(dāng)陣元數(shù)為 N=N₁+N₂ ，OHNA的均勻自由度 V 的閉合表達(dá)式為：

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[16的證明思路，當(dāng)OHNA的傳感器數(shù)目為 N 時(shí)，根據(jù)性質(zhì)1， N=N₁+N₂ 約束下的最大自由度可以歸納為以下問題：

利用算術(shù)和幾何平均不等式（AM一GM）求解，可以得到：當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，V=（ +6 ，當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)， ·

證畢.

3數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1均勻自由度

本小節(jié)選擇了六種陣列（GAMSNA-I、NA-TS、DNA、NA和ePCA）與所提出的陣列OHNA進(jìn)行均勻自由度對比分析.表1列出了固定陣元數(shù)下各陣列的均勻自由度值.結(jié)果表明，OHNA的均勻自由度最高，可以達(dá)到 （N₁+1）（N₂+1）+2 ，其次是DNA、GAMSNA-1、NA-TS、NA和ePCA.

表1六種稀疏陣列陣元數(shù)與均勻自由度的關(guān)系

表2詳細(xì)列出了30、40和50陣元配置下各陣列的均勻自由度.數(shù)據(jù)分析表明，所提出的陣列OHNA在均勻自由度方面始終保持領(lǐng)先地位，分別達(dá)到517、887和1357.值得注意的是，隨著陣元數(shù)量的增加，OHNA的均勻自由度呈現(xiàn)顯著的增長趨勢，充分體現(xiàn)了其優(yōu)越的性能和良好的可擴(kuò)展性.

表2六種稀疏陣列不同陣元數(shù)下均勻自由度比較

文獻(xiàn)[17定義了空間效率的概念，空間效率可用于衡量稀疏陣列在單位空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)的均勻自由度的大小.空間效率的值越低，說明陣列均勻自由度的容量越大.空間效率 η 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

圖4展示了六種稀疏陣列的空間效率隨陣元數(shù)變化的趨勢.結(jié)果表明，所提出的陣列OHNA始終保持最低的空間效率，說明其均勻自由度高于其他五種稀疏陣列，且具有最大的均勻自由度容量.

圖4不同陣元數(shù)下的空間效率

圖5不同陣列的波達(dá)方向估計(jì)

3.2 角度分辨率

本實(shí)驗(yàn)采用以下參數(shù)設(shè)置：采樣快拍數(shù)為1000，信噪比為0分貝.本次實(shí)驗(yàn)利用空間平滑MUSIC算法[18]探究波達(dá)方向估計(jì)的精度.圖5展示了16個(gè)陣元配置下，針對31個(gè)來波方向位于區(qū)間- 內(nèi)的獨(dú)立信號(hào)源，六種陣列在某次試驗(yàn)中的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ePCA和NA存在一定的角度估計(jì)偏差，相比之下，OHNA、GAMSNA-I、DNA和NA-TS則能夠更為精確地估計(jì)出信號(hào)源的來波方向.

圖6展示了16個(gè)陣元配置下，針對27個(gè)入射角度位于- °范圍內(nèi)的獨(dú)立信號(hào)源，所提出陣列OHNA的歸一化功率譜.根據(jù)圖6所示，OHNA能夠精確地區(qū)分并識(shí)別所有人射的信號(hào)源，這一結(jié)果表明該陣列具備出色的波達(dá)方向估計(jì)性能.

圖6 OHNA的空間譜

3.3波達(dá)方向估計(jì)性能分析

文獻(xiàn)[19使用均方根誤差采用了均方根誤差作為評(píng)估稀疏陣列波達(dá)方向估計(jì)精度的一項(xiàng)綜合性指標(biāo)，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式（17）中： I 為蒙特卡洛試驗(yàn)的次數(shù)， 為第 i 次試驗(yàn)估計(jì)出來的角度.本小節(jié)進(jìn)行了兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，分別針對動(dòng)態(tài)信噪比下及動(dòng)態(tài)快拍數(shù)下的均方根誤差進(jìn)行了探究.實(shí)驗(yàn)的具體參數(shù)配置如下：來波方向的區(qū)間設(shè)定為 -40^°～40^° ，信號(hào)間隔被設(shè)定為 3^° ，并通過執(zhí)行500次蒙特卡洛模擬來確保所得結(jié)果的穩(wěn)健性和可靠性.

圖7展示了均方根誤差隨信噪比變化的趨勢，其中實(shí)驗(yàn)采用1000次快拍，信噪比范圍自-5分貝至20分貝，每增加5分貝作為一個(gè)測量點(diǎn).通過觀察圖7可以知道隨著信噪比的逐步提升，均方根誤差顯著降低，并在信噪比達(dá)到5分貝后趨于穩(wěn)定.值得注意的是，OHNA陣列均方根誤差的表現(xiàn)優(yōu)于其他五種稀疏陣列，這一優(yōu)勢歸因于OHNA差分共陣列中包含更多的連續(xù)數(shù)段，從而擴(kuò)大了虛擬域陣列孔徑，增加了可利用的陣元數(shù)量，進(jìn)而提升了識(shí)別多個(gè)人射信號(hào)源的能力.

圖7不同信噪比下的均方根誤差

圖8展示了均方根誤差隨快拍數(shù)變化的趨勢，實(shí)驗(yàn)設(shè)置信噪比為0分貝，快拍數(shù)從200以200為步長遞增至1000.結(jié)果表明，在快拍數(shù)為200時(shí)，OHNA的均方根誤差處于中等偏上水平；但隨著快拍數(shù)增加，其誤差持續(xù)降低.值得注意的是，當(dāng)快拍數(shù)達(dá)到400后，OHNA始終保持最低的均方根誤差，充分展現(xiàn)了其優(yōu)越的性能.

圖8不同快拍數(shù)下的均方根誤差

4結(jié)論

針對嵌套陣列的移位策略，本文提出了一種優(yōu)化層次嵌套陣結(jié)構(gòu)，該陣列巧妙地將五階陣列嵌套在一起，顯著地?cái)U(kuò)展了虛擬陣列的孔徑，同時(shí)優(yōu)化了差分共陣列中的連續(xù)數(shù)段，使之達(dá)到最優(yōu)狀態(tài).相較于現(xiàn)有的稀疏陣列，所提出的陣列結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出了更高容量的均勻自由度.同時(shí)，不僅推導(dǎo)出了完整的陣元位置集合，而且清晰確定了均勻自由度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而給陣列性能的分析提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).通過深入的理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了所提陣列配置具備有效性.

參考文獻(xiàn)

[1] Zekavat S，Buehrer R M，Durgin G D，et al. An overview on position location：Past，present，future[J]. International Journal of Wireless Information Networks，2O21，28： 45-76.

[2] Ishiguro M. Minimum redundancy linear arrays for alarge number of antennas[J].Radio Science，198o，15（6）：1 163- 1 170.

[3] Vaidyanathan P P，Pal P. Sparse sensing with co-prime samplers and arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2010，59（2）：573-586.

[4] Pal P，Vaidyanathan P P. Nested arrays： A novel approach to array processing with enhanced degrees of freedom[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2Olo，58（8）： 4 167-4 181.

[5] Qin S，Zhang Y D，Amin M G. Generalized coprime array configurations for direction-of-arrival estimation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63（6）：1 377- 1 390.

[6] Liu J，Zhang Y，Lu Y，et al.Augmented nested arrays with enhanced DOF and reduced mutual coupling[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2017，65（21）：5 549- 5563.

[7] Raza A，Liu W，Shen Q. Thinned coprime array for secondorder difference co-array generation with reduced mutual coupling[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2019，67（8）：2 052-2 065.

[8] Zheng W，Zhang X，Wang Y，et al.Padded coprime arrays for improved DOA estimation：Exploiting hole representation and filling strategies[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2020，68：4 597-4 611.

[9] Shaalan A M A，Du J，Tu Y H. Dilated nested arrays with more degrees of freedom（DOFs） and less mutual coupling—part I：The fundamental geometry [J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2022，70：2 518-2 531.

[10] Zhang Y，Hu G，Zhou H，et al. Hole-free nested array with three sub-ULAs for direction of arrival estimation [J].Sensors，2023，23（11） ：5 214.

[11] Wei S，Zhu G，Su Y.A novel sparse array configuration for direction of arrival estimation with increased uniform degrees of freedom and reduced mutual Coupling[J]. Sensors，2024，24（3） ：808.

[12] Zheng Z，Wang W Q，Kong Y，et al.MISC array：A new sparse array design achieving increased degrees of freedom and reduced mutual coupling effect [J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2019，67（7） ：1 728- 1 741.

[13］楊樂.基于智能算法的相干信號(hào)處理[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2018.