例談幾類圖形折疊問題的解法

圖形折疊問題實質上是軸對稱圖形問題.折疊起來可以重合的兩個圖形的大小相同，形狀相同，對應點的連線被折痕垂直平分，對應邊相等，對應角相等，只是位置發生了變化.解答圖形折疊問題，首先要明確圖形的形狀以及折疊后圖形的形狀；然后從點、線、面三個方面入手，尋找其中變化的量和不變的量，根據幾何圖形的性質來建立數量關系，從而求得問題的答案.下面以三角形、矩形、菱形為例，探討一下不同圖形折疊問題的解法

一、三角形折疊問題

三角形的折疊問題比較常見.如果將三角形沿著一條直線折疊，那么根據軸對稱的性質可知折疊前后對應邊的長度相等，對應角的度數也相等.利用這些相等的量，便可以根據勾股定理、三角形的性質、全等三角形的性質以及相似三角形的性質等來建立數量關系，求得問題的答案

例1如圖1，在 RtΔABC 中， ∠C=90^°，AC= _6，BC=8 ，點 D 在邊 BC 上，沿著 AD 將 ΔABD 折疊得到 ΔAB^′D ，使 AB^′ 與邊 BC 交于點 E. 若ΔDEB^′ 為直角三角形，求 BD 的長.

解：在 RtΔABC 中， ∠C=90^° ， AC=6 BC=8 ，由勾股定理可得 AB=10 由折疊圖形的性質可知 ΔABD?ΔAB^′D ： .BD=DB^′ 州 AB^′=AB=10 （1）如圖1所示，當 ∠B^′DE=90^° 時，過點

B^′ 作 B^′F⊥AF ，垂足為 F

設 BD=DB^′=x ， ∴AF=6+x FB^′=8-x

在 RtΔAFB^′ 中，由勾股定理得：

AB^′2=AF²+FB^′2 ，

即 （6+x）²+（8-x）²=10².

解得： x₁=2，x₂=0 （舍去）， ∴BD=2

圖1

圖2

（2）如圖2所示，當 ∠B^′ED=90^° 時， C 與點E 重合.. ?AB^′=10，AC=6，∴B^′E=4. 設 BD=DB^′=x ，則 CD=8-x 在 RtΔB^′DE 中， DB^′2=DE²+B^′E² ，即 x²=（8-x）²+4² 解得： ?=5.∴BD=5 綜上所述， BD 的長為2或5.

評注：本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用.沿著 AD 將 ΔABD 折疊得到ΔAB^′D ，即可根據折疊圖形的性質得出ΔABD?ΔAB^′D ，進而得出 AB^′=10，DB=DB^′ 然后設 DB=DB^′=x ，分 ∠B^′DE=90^° 和 ∠B^′ED= 90^° 兩種情況，根據勾股定理列出關于 x 的方程，求得 x 的值，即可求得 BD 的長.

二、矩形折疊問題

矩形折疊后重合的部分可能為三角形、19梯形、五邊形.但無論怎樣翻折，翻折前后圖形的大小和形狀不改變，對應邊相等，對應角相等.在解題時，需運用矩形的性質，如對邊相等、四個角都是直角、對角線相等且互相平分等，再根據軸對稱圖形的性質、全等三角形以及相似三角形的性質、勾股定理等建立等量關系式解題

例2在折疊矩形紙片 ABCD 時，進行如下操作： ① 把 ΔADE 翻折，點 A 落在 DC 邊上的點 F 處，折痕為 DE ，點 E 在 AB 邊上； ② 把紙片展開并鋪平，如圖3所示； ③ 把 ΔCDG 翻折，點 C 落在線段 AE 上的點 H 處，折痕為 DG 點 G 在 BC 邊上.若 AB=AD+2，EH=1 ，則AD=

圖3

解：設 AD=x ，則 AB=x+2

由題意可知把 ΔADE 翻折，點 A 落在 DC

邊上的點 F 處，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90^° ∴四邊形AEFD為正方形， ∴AE=AD=x 把 ΔCDG 翻折，點 C 落在線段 AE 上的

點 H 處，折痕為 DG 點 G 在 BC 邊上，∴DH=DC=x+2. ∴HE=1，∴AH=AE-HE=x-1. 在 RtΔADH 中， AD²+AH²=DH² （20 ∴x²+（x-1）²=（x+2）²， （20解得 . （舍去），即 AD 的長為 .評注：我們先根據題意設 AD=x ，則 AB=

x+2 ，根據折疊圖形的性質得 DF=AD，EA=

EF ∠DFE=∠A=90^° ，則可判斷四邊形AEFD

為正方形，所以 AE=AD=x ；再根據折疊圖形

的性質求得 DH，AH ，即可根據勾股定理建立方程 x²+（x-1）²=（x+2）² ，再解方程求出 x 即可解題.

三、菱形折疊問題

在解答菱形折疊問題時，我們不僅要明確圖形折疊的性質，即在折疊前后，折痕兩邊能夠完全重合的部分是全等圖形，即它們的對應線段、對應角相等，還要掌握菱形的特點：四條邊相等，其對角線互相垂直且平分，兩組對邊平行.在解題時，需運用菱形中的平行和垂直關系，再根據平行線的性質、相似三角形的性質、勾股定理等建立關系式.

例3如圖4，在菱形 ABCD 中， ∠B=60^° ，E 為 _AB 的中點，將 ΔAED 沿 DE 翻折得到ΔGED ，射線 DG 交 BC 于點 F ，若 AD=2 ，則BF=

圖4

解：設 DE 和 CB 的延長線相交于 G^′ 點，連接 EF ，作 EH⊥DF 于 H 點，如圖4，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠A=180^°-∠B=120^°，AB=AD=2 ·∴AD//BC ?∠1=∠G^′ ，而 E 為 AB 的中點， ∴AE=BE=1 ： ΔAED 沿 DE 翻折得到 ΔGED ，∴∠1=∠2，DG=DA=2，EG=EA=1 ∠3=∠A=120^° ·∠4=60^° ，在 RtΔEHG 中， 在 RtΔDEH 中， ，

∴AD//BG^′，∴∠1=∠G^′， ?∠G^′=∠2，∴FG=BF

在 ΔAED 和 ΔBEG^′"中，

"（20號

∴ΔAED?ΔBEG^′，∴DE=G^′E，

∴FE⊥DG^′，∴∠FED=90^°

： ∠HDE=∠EDF

∴RtΔDEF～RtΔDHE

評注：解答折疊問題，要根據圖形、點、線段之間的位置關系來建立數量關系.在解題時，可以先設所求的線段長為 x ，然后根據折疊圖形的性質和全等三角形的性質、菱形的性質，用含 x 的代數式表示其他線段的長度，運用勾股定理和相似三角形的性質列出方程，進而求出答案.

雖然圖形折疊問題較為復雜，但是我們只要明確折疊圖形的性質以及對應關系，找到圖形之間的數量關系和位置關系，恰當地運用不同圖形的性質，就能順利解題.在解題時，同學們要學會靈活運用數形結合思想，借助圖形分析問題，這樣才能有效地提升解題的效率.