怎樣求拋物線上定點(diǎn)的坐標(biāo)

在解答與拋物線有關(guān)的問題時(shí)，我們常常會(huì)遇到一類含有參數(shù)的二次函數(shù)圖象過定點(diǎn)的問題，要求我們通過分析函數(shù)的表達(dá)式，找到無論參數(shù)如何變化，函數(shù)圖象始終經(jīng)過的固定點(diǎn).解答這類問題需靈活運(yùn)用二次函數(shù)的解析式、方程的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象等知識(shí).下面結(jié)合例題介紹兩種求拋物線的定點(diǎn)坐標(biāo)的方法，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助，

一、特殊值法

對(duì)于含有參數(shù)的二次函數(shù)式，無論參數(shù)取滿足題目條件的哪個(gè)值，定點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足拋物線的方程.因此在求拋物線的定點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我們可以采用特殊值法，通過給參數(shù)賦予兩個(gè)特殊值，將含參二次函數(shù)式化為兩個(gè)不含參數(shù)的方程，然后聯(lián)立方程來求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

例1無論 a 取任何不為0的實(shí)數(shù)，拋物線y=ax²-x-a+4 恒過定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)

解： y=ax²-x-a+4=a（x²-1）-x+4. （20令 a=1 ，得 y=x²-x+3 ①

令 a=-1 ，得 y=-x²-x+5，② 聯(lián)立 ①② ，解得 當(dāng) x=1 時(shí)， ?y=ax²-x-a+4=3 ，當(dāng) x=-1 時(shí)， y=ax²-x-a+4=5 ，因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，3），（-1，5）

說明：因?yàn)闊o論 a 取任何不為0的實(shí)數(shù)，拋物線 y=ax²-x-a+4 恒過定點(diǎn)，所以我們只需選取除了0以外的兩個(gè)特殊值，將其代入函數(shù)的解析式中，建立關(guān)于 x，y 的方程組，即可通過解方程組求得定點(diǎn)的坐標(biāo).另外要注意，在選取特殊值時(shí)，通常需要選擇兩個(gè)不同的參數(shù)值，這樣才能確保方程有唯一解.

二、變更主元法

當(dāng) a=0，b=0 時(shí)，方程 a?k=b，ak²+bk=0 恒成立，且任何參數(shù) k 均滿足方程.因此在求拋物線的定點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我們可以采用變更主元法，即先令二次函數(shù)式為0；然后將二次函數(shù)中的參數(shù)視為主元，其他變量視為參數(shù)，將方程化為關(guān)于新主元的方程，即可根據(jù)“當(dāng) a=0 且 b= 0時(shí)，方程 ax=b，a?k=b，ak²+bk=0 有無數(shù)解”，得到關(guān)于 x，y 的方程組，求得 x，y 值，即可確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

例2如果 a 為任意實(shí)數(shù)，請(qǐng)判斷拋物線y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1 是否恒過定點(diǎn)，若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

解：因?yàn)?y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1 ，將其變形為關(guān)于 a 的方程 （x-1）a²+（3x- 3）a+（y-x²-1）=0 要使 a 為任意實(shí)數(shù)，需使 解得 當(dāng) _x=1 時(shí)， y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1=2 ，

所以無論 a 為何實(shí)數(shù)，拋物線恒過定點(diǎn)（1，2）.

說明：我們將 a 視為主元， x，y 視為參數(shù)，將拋物線的解析式變形為關(guān)于 a 的一元二次方程，要使 a 為任意實(shí)數(shù)，需使二次項(xiàng)的系數(shù)、一次項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)均為0，據(jù)此建立關(guān)于 x，y 的方程組，即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

例3如果 m，n 為任意實(shí)數(shù)，請(qǐng)判斷拋物線 是否恒過定點(diǎn)，若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)

解：因?yàn)?y=mx²-（n²+3m）x+n²+2m-1 ，將其變形為 m（x²-3x+2）+n²（1-x）+（-1- y）=0 ，則該方程可以視為關(guān)于 m，n 的方程.要使 m，n 為任意實(shí)數(shù)， （20需使解得 ·經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) x=1 時(shí)，y=mx²-（n²+3m）x+n²+2m-1=-1， 所以無論 m，n 為何實(shí)數(shù)，拋物線恒過定點(diǎn) （1，-1）

說明：拋物線的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)m 和 n ，于是將拋物線的解析式化為關(guān)于 m_?n 的方程，只要使得其系數(shù)均為0，即可確保 m 、n 為任意實(shí)數(shù)，由此得到一組關(guān)于 x，y 的方程組，解該方程組，即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

總之，特殊值法和變更主元法都是求拋物線的定點(diǎn)坐標(biāo)的重要方法.無論運(yùn)用哪種方法求定點(diǎn)的坐標(biāo)，都要將拋物線的解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，建立合適的方程（組），然后通過解方程（組）得到定點(diǎn)的坐標(biāo)