以“軌跡意識”看最值問題

最值問題中，所求量肯定是一個變化的量，我們能不能用軌跡意識來研究這個變化的量呢？能不能根據(jù)題干條件構(gòu)建運動軌跡，找到運動軌跡中與變量的最大值（最小值)所對應(yīng)的那個“契合點”呢？接下來結(jié)合五道典型例題，溯源歸納出直線、圓、橢圓、拋物線與雙曲線這五種圖形的軌跡在解決最值問題的應(yīng)用，并體會樹立“軌跡意識”在解題中的價值底蘊1].

1點 B 到直線 AC 的距離為定值模型，點 B 的運動軌跡為直線

例1在銳角 ΔABC 中，已知sin B=sinA ：sin C ，則 tanB 的最大值為

分析本題以解三角形為背景，求正切最大值為落腳點.由題目已知條件可以得到三角形面積為 中頂點 B 所對應(yīng)的邊為 b )，故 ΔABC 以AC 作為底邊，高的長度就為 b ，這樣就能得到點 B 到直線 AC 的距離為定值，此時點 B 就在與 AC 平行的直線上運動.如圖1所示，求tan B 的最大值，就轉(zhuǎn)化為米勒圓最大張角問題.

解由sin B=sinA sin C ，可得 ，即 ，所以三角形面積為 ，點 B 到直線 AC 的距離為 b ，如圖1所示ΔABC 的外接圓與直線 BB^′ 相切時，角 B 最大（因為同弧所對的圓周角相等，所以 ∠ABC=∠AEC ，又∠AEC>∠AB^′C ，故 ∠ABC>∠AB^′C) .此時點 B 在線段 AC 的垂直平分線上，即 BA=BC ， ΔABC 為等腰三角形，可得tan A=tanC=2 ，此時tan B=-tan(A +C) ，tan ，tanB 故tan B 的最大值為

圖1

點評由正弦定理得到 ΔABC 的面積，假定AC 的長為定值，底邊 AC 上的高就為定值，從而得到點 B 的運動軌跡就是直線.點 B 在運動時， ΔABC 的外接圓也在運動，當(dāng) ΔABC 的外接圓運動到正好與點 B 所在的直線相切時角 B 最大，這是經(jīng)典的米勒圓最大張角問題，由此滲透了數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)魅力.

2點 B 到定點 o 的距離為定值模型，點 B 的運動軌跡為圓

例2已知線段 AC 長度為4，點 B 滿足 ε=0 ，若 ^D，E 兩點分別滿足 ，則|BD|+|BE| 的最大值為

分析將題干條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化可以得到點 B 在以 AC 為直徑的圓上運動，設(shè)線段 AC 的中點 o 為圓心，這樣就能得到點 B 到定點 o 距離為定值模型，此時求 |BD|+|BE| 的最大值就可以借助圓的參數(shù)方程.

解由 ，可以得到 如圖2，以 AC 的中點 o 為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點 _A，B，C 的坐標(biāo)分別為（－2，0）， (x，y) ，(2，0).因為 |BO|=2 ，所以點 B 在圓 O:x²+y²=4 上運動，令x=2cos （204 θ，y=2sinθ ，則 ∣BD∣²+∣BE∣²=(2cosθ+ ，因為（204號 ，所以（ |BD|+|BE|)²?20 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，故 |BD|+|BE| 的最大值為

圖2

點評根據(jù)向量的數(shù)量積得到垂直關(guān)系，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到點 B 的運動軌跡為圓.構(gòu)建好圓的方程以后，用圓的參數(shù)方程難以直接求出 ∣BD∣+∣BE∣ 的最大值，需要迂回一下，先求出 ∣BD∣²+∣BE∣² 的值，再利用不等式求出 的最大值.此題啟示我們所求目標(biāo)難以直接達(dá)成時，往往需要構(gòu)建一個橋梁，這樣問題就會迎刃而解了.

3 （20 ∣BA∣+∣BC∣ 為定值模型，點 B 的運動軌跡為橢圓

例3已知 =14 ，則 3x-4y 的最大值為

分析 表示點 (x，y) 與點 (0，0) 的距離， 表示點 (x，y) 與點(8，6)的距離.用 ^A，B，C 分別表示這三點，就能得到 BA+ BC 為定值模型，由 BA+BC>AC ，可以得到點 B 的運動軌跡為橢圓，接下來通過數(shù)形結(jié)合就可以求出3x-4y 的最大值.

解設(shè) _A，B，C 所對應(yīng)的坐標(biāo)分別為 (0，0)，(x， y ），（8，6)，由已知條件可得： BA+BC=14，AC=10 ，如圖 ^3，A，C 兩點就是橢圓的焦點，點 B 在橢圓上運動，直線 AC 方程為 3x-4y=0. 令 3x-4y=b ，結(jié)合圖形易知直線 3x-4y=b 在橢圓上方和橢圓相切時b 最大，且 b>0. 此時兩平行直線 3x-4y=b 與直線3x-4y=0 的距離為橢圓的短半軸長的一半，即為 ，所以 ，解得 ，故 3x-4y

的最大值為

圖3

點評 此題破解的關(guān)鍵是看出題目條件當(dāng)中隱藏的幾何關(guān)系，由二點之間的距離公式，我們可以構(gòu)建出 ∣BA∣+∣BC∣ 為定值模型，從而得到點 B 的運動軌跡為橢圓.將所求問題轉(zhuǎn)化為一條運動的直線和橢圓的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合，就能直觀地感受到，該直線和橢圓相切時，就是我們要找的那個“契合點”，再利用兩平行直線的距離公式，就能求解出問題的最大值.

4“ ∣BA∣+∣BF∣^! ”模型，點 B 的運動軌跡為拋物線

例4 對于 x 的最小值為

分析 表示點 到（0，3）的距離，設(shè) ^A，B 兩點分別為（0，3）， ，顯然點 B 在拋物線 C:y²=4x 上運動，設(shè) F(1，0) 為拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的定義可知 |BF|=x+1 ，所求函數(shù)的值轉(zhuǎn)化為 ∣BA∣+∣BF∣-1 ，這樣就得到了“ ∣BA∣+∣BF∣ ”模型，接下來數(shù)形結(jié)合就可以求出 |BA|+|BF|-1 的最小值了.

圖4

解如圖4，設(shè) ^A，B 坐標(biāo)分別為（0，3）， (x ， ），則點 B 在拋物線 C:y²=4x 上運動，拋物線的焦點坐標(biāo) F 為(1，0)，可得 |BF|=x+1 ，所以 f(x)= ∣BA∣+∣BF∣-1 ，顯然 ^{A，B，F(xiàn)} 三點共線時， ∣BA∣+ ∣BF∣ 的值最小，此時 ∣BA∣+∣BF∣=∣AF∣ ， |AF|= ，故 f(x) 的最小值為

點評在面對數(shù)學(xué)問題時，我們要用發(fā)散的思維去看待它，不能停留在問題的表面.此題形式上是在考查函數(shù)最小值問題，但是最終的落腳點是在構(gòu)建拋物線的方程上面，利用拋物線的定義去求解最小值.怎么樣巧妙的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)條件是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，所以在面對數(shù)學(xué)問題時，我們要勤于思考，通過現(xiàn)象看本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”真諦

5 ∣BC∣-∣BA∣ 為定值模型，點 B 運動軌跡為雙曲線(或雙曲線的一支）

例5 已知 |δa|=2，|δb|=1，δa 與 b 的夾角為 θ ，若 ∣a+λb∣-∣a-λb∣=2 且 1?λ?2 ，則 cosθ 的最小值為

分析本題以向量為背景，利用向量加減法基本運算，就能得到 ∣BC∣-∣BA∣ 為定值模型，點 B 運動軌跡為雙曲線（如圖5，點 B 在雙曲線右支上），這樣數(shù)形結(jié)合就可以得到cos θ 的最小值.

圖5

解如圖5，設(shè) ，由已知可得 ，故點 B 在以點 ^A，C 為焦點的雙曲線右支上，設(shè)點 ^A，B，C 的坐標(biāo)為（2，0）， (x₀ ，（20 y₀)，(-2，0) ，則 結(jié)合圖象可知 0?θ< ，當(dāng)OB長度最大時，θ最大.顯然當(dāng)θ最大時，cosθ的值最小.因為 ，所以當(dāng) 時，cos θ 取得最小值.設(shè)點 B 坐標(biāo)為 (2cosθ，2sinθ) ，可得： ，由 cos²θ+sin²θ=1 ，解得cos 0 故cos θ 的最小值為

點評此題是用解析幾何觀點求解向量問題，拓寬思維視野的同時，需要體悟其方法背后的巧妙之處.首先利用向量基本運算將條件轉(zhuǎn)化以后，能領(lǐng)悟到差值等式與刻畫雙曲線定義有相同之處，進(jìn)而得到雙曲線方程，大大降低了思維難度；其次，借助雙曲線圖象，可以看出 與 的夾角大小隨著 的長度增大而增大，從而得到 長度最大時，夾角最大；最后借助三角函數(shù)定義，將點 B 的坐標(biāo)用 θ 表示出來，再帶入到雙曲線方程中去，然后利用同角基本關(guān)系，直接解出夾角余弦值，大大簡化了計算.由此可見，在求解最值時，“軌跡意識”的形成能起到事半功倍的作用.

根據(jù)上述五道例題，我們可以看出在求解相關(guān)最值問題時，我們要用動態(tài)的思維，去思考問題.小心求索，大膽嘗試，分析題目已知條件能否構(gòu)建出這五種運動軌跡.確定好動點的軌跡以后，充分利用軌跡特征看出最值條件，最后通過數(shù)形結(jié)合與基本運算得出最值.雖然上述五道題還有其他解法，但是把軌跡意識作為一種破題思路，從題干條件切人，構(gòu)建直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線這五種軌跡模型，能養(yǎng)成良好的化歸思維習(xí)慣與意識，進(jìn)而達(dá)到問題解決與培養(yǎng)思維能力的目的[2].

參考文獻(xiàn)

[1]屈伸，管佩瑤.例談“軌跡意識”在高中數(shù)學(xué)解題中的價值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021(21)：8-9.

[2]戚海強.新高考背景下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究［J].高考，2025(13) :31-34.

作者簡介王偉（1990—），男，安徽和縣人，中學(xué)二級教師；獲馬鞍山市優(yōu)質(zhì)課二等獎.

莫傳恒（1979—），男，安徽和縣人，中學(xué)一級教師；獲市優(yōu)秀班集體榮譽.

尹勝軍（1985一），男，安徽和縣人，中學(xué)一級教師；獲市優(yōu)秀班集體榮譽.