夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)多維探究，適度高位知識(shí)

1 題目與解法

（2025年天津卷第18題）已知橢圓 1（agt;bgt;0） 的左焦點(diǎn)為 F ，右頂點(diǎn)為 ^A，P 為 x=a 上一點(diǎn)，且直線 PF 的斜率為 的面積為 離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn) P 的直線與橢圓有唯一交點(diǎn) B （異于點(diǎn)A），求證： PF 平分 ∠AFB

該題以橢圓為背景，較為全面地考查橢圓中各基本量、三角形面積、切線、角平分線等基礎(chǔ)知識(shí)和核心概念，考查學(xué)生直曲聯(lián)立，角度轉(zhuǎn)化等解析幾何的基本方法.在沿襲天津卷一貫關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基礎(chǔ)上，又較為創(chuàng)新地考查對(duì)角平分線的解幾轉(zhuǎn)化和表達(dá)，增加了題目的綜合性和探索性.筆者嘗試從不同轉(zhuǎn)化方式入手，對(duì)第（2）問進(jìn)行了解法探索.

解 （1）

（2）由（1）可知 P（2，1），F(xiàn)（-1，0），A（2，0） 易知直線 PB 的斜率存在，設(shè)其方程為 y=kx+m ，則 ， （20 1=2k+m ，即 m=1-2k. 聯(lián)立 消去 y 得， （3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0. 因直線與橢 圓有唯一交點(diǎn)，所以 Δ=（8k?m）²-4（3+4k²） ： （4m²-12）=0 ，即 4k²-m²+3=0. 則 4k²-（1- 2k）²+3=0 ，解得 ，則m=2，故lpB：y=-2 （x=1 +2. 聯(lián)立 解得

法1（數(shù)量積） ，F(xiàn)P=（3，1），F(xiàn)A=（3，0）， 則 又 ∠BFP ，故 ∠BFP=∠PFA ，即 PF 平分∠AFB.

法2（到角公式）：kFB = 由到角公式得 tan∠BFP= 則tan ∠BFP=tan∠PFA 下略.

法3（直接驗(yàn)證）： ，tan∠BFA 故 下略.法4（距離轉(zhuǎn)化）：kFB 進(jìn)而lBF： ，即 3x-4y+3=0 ，則點(diǎn) P 到直線 FB 的距離為 ，又點(diǎn) P 到直線 FA 的距離也為1，所以 PF 平分 ∠AFB

法5（面積轉(zhuǎn)化）： 則 sin∠BFP=sin∠PFA. 下略.

2 命題背景

筆者從極點(diǎn)極線和橢圓的光學(xué)性質(zhì)兩個(gè)角度對(duì)命題背景進(jìn)行了探索

2. 1 極點(diǎn)極線背景

定義1 若點(diǎn) _{A，B，C，D} 順次排列在直線上，且滿足 ，（其中 表示有向線段 AB 的長度）則稱 A，C;B，D 為調(diào)和點(diǎn)列，或稱 ^B，D 調(diào)和分割A(yù)，C.

定義2過不在二次曲線 T 上的點(diǎn) P 作直線 ξ_l 與圓錐曲線依次交于 ^A，B 兩點(diǎn)，若直線 l 上存在點(diǎn)M ，使 A，B;P，M 成調(diào)和點(diǎn)列，則點(diǎn) M 的軌跡為一條直線 l^′ .我們稱點(diǎn) P 為直線 l^′ 關(guān)于曲線 T 的極點(diǎn)，稱直線 l^′ 為點(diǎn) P 關(guān)于曲線的極線.特別地，當(dāng)點(diǎn) P 在二次曲線上時(shí)，其極線為在點(diǎn) P 處的極線.

性質(zhì)1 如圖 ^1，P 是不在圓錐曲線 T 上的點(diǎn)，過點(diǎn) P 引兩條直線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H ，連接 EH，F(xiàn)G 交于點(diǎn) N ，連接 EG，F(xiàn)H

圖1

交于點(diǎn) M ，則稱點(diǎn) P 為直線 MN 關(guān)于曲線 T 的極點(diǎn)，直線MN為點(diǎn) P 關(guān)于曲線 T 的極線.特別地，當(dāng) E，F(xiàn) 重合， ^G，H 重合時(shí)，點(diǎn) P 的極線為切點(diǎn)弦.當(dāng) E，F(xiàn)，G H 四點(diǎn)均重合時(shí)，極線為在點(diǎn) E 處的切線.

性質(zhì)2不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn) P 的極線為 MN ，點(diǎn) M 的極線為 PN ，點(diǎn) N 的極線為PM.則對(duì)于二次曲線 T 若直線 l₁ 過 l₂ 的極點(diǎn)，則 l₂ 過 l₁ 的極點(diǎn).稱 l₁，l₂ 關(guān)于T 調(diào)和共軛[1].

性質(zhì)1和性質(zhì)2已在文[1］中證明，此處不再贅述.

性質(zhì)3點(diǎn) P（x₀，y₀） 關(guān)于二次曲線 Ax²+By²+ Cxy+Dx+Ey+F=0 的極線方程為 Ax₀x+By₀y+

體說來，點(diǎn) P（x₀，y₀） 關(guān)于橢圓 的極線方程為 特別地，當(dāng)點(diǎn) P（t，0）（t≠0） 時(shí)，其極線方程為 圓、雙曲線、拋物線同理[2].

性質(zhì)3已在文獻(xiàn)「2]中證明，此處不再贅述

性質(zhì)4設(shè)圓錐曲線 Γ 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F ，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線為 l. 則 l 上任意一點(diǎn) G 的極線過點(diǎn) F ，設(shè)其與圓錐曲線交于 M，N ，則 GF⊥MN. （2

證明 以橢圓 為例，其右焦點(diǎn)為 F（c，0） ，設(shè)其右準(zhǔn)線上一點(diǎn) ，則點(diǎn) G 對(duì)應(yīng)的極線為 則 ，故 GF⊥MN. （204號(hào)

性質(zhì)5直線上四點(diǎn) A，C;B，D 成調(diào)和點(diǎn)列， P 為直線外一點(diǎn)，若 BP⊥PD ，則 PA，PC 為 ∠BPD 的 外角平分線和內(nèi)角平分線.

證明 記 ∠APB=α ， ∠BPC=β，∠CPD=90^° -β 由 得 化簡得 （204號(hào) sin（α-β）=0. 又 ，故 α=β

依據(jù)以上相關(guān)定義和性質(zhì)，本題的命題背景如下：

如圖2，橢圓左焦點(diǎn) F 對(duì)應(yīng)的極線為準(zhǔn)線 在 ξ_l 上任取一點(diǎn) G ，過點(diǎn) G 作橢圓的切線，切點(diǎn)為 M，N ，則 MN 為點(diǎn) G 關(guān)于

圖2

橢圓的極線，且有 GF⊥MN （為了作圖方便，此處使用作切線的方法得出點(diǎn) G 的極線.不作切線，直接用代數(shù)方法也可得出）.過點(diǎn) G 作直線 AB ，交橢圓于 A ，B ，交MN于點(diǎn) T ，則 _G，T;B，A 成調(diào)和點(diǎn)列.又 ∠GFT =90^° ，故 FT 平分 ∠BFA 又 AB 是過點(diǎn) T 的橢圓的弦，過點(diǎn) ^A，B 分別作橢圓的切線，交于點(diǎn) P ，則點(diǎn) P 在點(diǎn) T 的極線上.又點(diǎn) G 也在點(diǎn) T 的極線上，由調(diào)和共軛性的相關(guān)性質(zhì)知點(diǎn) G 的極線為 PT ，故 P，M，T，F(xiàn) ，N 共線.

2.2 橢圓的光學(xué)性質(zhì)

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

證明 設(shè)橢圓Γ 的左右焦點(diǎn)為 F₁，F(xiàn)₂ ，入射點(diǎn)為 P（x₀，y₀） .設(shè)過點(diǎn) P 的切線為l.由導(dǎo)數(shù)可得切線l的斜率k=y'丨χ= 而 PF₁ 的斜率 ，PF的斜率k2 故l 到 PF₁ 所成的角 α 滿足：

.又P（，yo）在橢圓上，則tan 同理， PF₂ 到 ξ_l 所成的角 β 滿足tan β= 故tan α=tanβ ，而 ，則α=β 即入射角等于反射角.

光學(xué)性質(zhì)推論：作其中一個(gè)焦點(diǎn) F₁ 關(guān)于切線 ξ_l 的對(duì)稱點(diǎn) Q ，則 F₂，P，Q 三點(diǎn)共線，且 F₂Q=2a

證明 如圖3，由對(duì)稱性結(jié)合光學(xué)性質(zhì)知：∠QPH=∠F₁PH=∠F₂PH^′ ，故 F₂，P，Q 三點(diǎn)共線，F(xiàn)₂Q=F₂P+PQ=F₂P+F₁P=2a. 號(hào)

依據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，本題命題背景如下：

圖3

圖4

如圖4，記橢圓的右焦點(diǎn)為 F^′ ，分別關(guān)于 PA，PB 作點(diǎn) F 的對(duì)稱點(diǎn) U，V ，則 F^′，A，U;F^′，B，V 三點(diǎn)共線，且 F^′U=F^′V. 由對(duì)稱性知 ∠PFA=∠PUA ， ∠PFB= ∠PVB 而 ∠PUA=∠PUV-∠F^′UV，∠PVB ∠PVU-∠F^′VU. 又 PU=PF=PV，F(xiàn)^′U=F^′V， 故∠PUV=∠PVU， ∠F^′UV=∠F^′VU ，進(jìn)而 ∠PUA= ∠PVB ∠PFA=∠PFB.

3 變式與例證

結(jié)合上述背景，筆者對(duì)題目進(jìn)行了改編和解答.近年來，以相關(guān)極點(diǎn)極線和橢圓光學(xué)性質(zhì)為背景的題目層出不窮，筆者簡錄幾題如下.

例1（2025年天津卷改編）已知橢圓 1（agt;bgt;0） ）的左焦點(diǎn)為 F ，右頂點(diǎn)為 ^A，P 為 x=a 上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線 PF 過橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，直線 PF 的斜率為 ，離心率為

（1）求橢圓的方程;

（2）過點(diǎn) P 的直線與橢圓有唯一交點(diǎn) B （異于點(diǎn)A ），求證： PF 平分 ∠AFB

（3）過點(diǎn) F 作 FQ⊥PF 交直線 AB 于點(diǎn) Q ，求證：點(diǎn) Q 在定直線上.（解略）

例2（2025年山西模擬）已知橢圓 1（agt;1） 的右焦點(diǎn)為 F ，上頂點(diǎn)為 B ，點(diǎn) P（2，1） ，且PF⊥BF

（1）求 c 的方程;

（2）過 P 的直線交 C 于 M，N 兩點(diǎn)，證明：直線 BF 平分∠MFN.

解析 （1）

（2）命題背景分析：由點(diǎn) P 在準(zhǔn)線 x=2 上， PF ⊥BF 可知點(diǎn) P 的極線為 BF 設(shè)過點(diǎn) P 的直線 MN 交BF 于點(diǎn) T ，則 P，T;M，N 成調(diào)和點(diǎn)列．又 ∠BFP= 90^° ，故 BF 平分 ∠MFN.

例3 （2025年北京卷）已知 E 的離心率為 橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4.

（1）求橢圓方程;

（2）設(shè) o 為原點(diǎn)， M（x₀，y₀） （ x₀≠0 ）為橢圓上 一點(diǎn)，直線 x₀x+2y₀y-4=0 與直線 y=2，y=-2 交 于 與 ΔOBM 的面積為 S₁，S₂ ，比較 與

的大小.

解析 （1） Ψ=1 ;（2） 即OM平分∠AOB.下面對(duì)

圖5

命題背景進(jìn)行分析.如圖5，取橢圓 上一點(diǎn) M（x₀，y₀） ，其切線為 ，過點(diǎn) o 作 oT⊥oM 交切線 l 于點(diǎn) T. 由 得kor = 進(jìn)而lor：y = ，聯(lián)立切線 l 與直線 l_or 得 y_T= 令 M，T;A，B 成調(diào)和點(diǎn)列，且 則 計(jì)算得y 此時(shí)， Ω_M T;A，B 成調(diào)和點(diǎn)列， ∠MOT=90^° ，故有OM平分∠AOB.在本題中，橢圓為 ，切線 l_：x₀x+ （204號(hào) 2y₀y-4=0 ，取

例4（2025年八省聯(lián)考）已知橢圓 C 的離心率為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 F₁（- 1，0），F(xiàn)₂（1，0）

（1）求 C 的方程；

（2）已知點(diǎn) M₀（1，4） ，證明：線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 c 恰有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）設(shè) M 是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

解析 ；（2）略;（3）命題背景分析： F₁M 的垂直平分線為橢圓 C 的切線，設(shè)切點(diǎn)為 T. （204由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知 M，T，F(xiàn)₂ 三點(diǎn)共線，且 MF₂=2a =4 ，點(diǎn) M 的軌跡是以 F₂ 為圓心，4為半徑的圓，該圓的方程為 （x-1）²+y²=16.

4教學(xué)建議

4.1夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注核心知識(shí)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

基本概念和基本原理是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的基石和框架，新課標(biāo)明確要求，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能.本題中的橢圓、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、斜率、離心率等都是解析幾何的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí).這提醒我們，一定要夯實(shí)基礎(chǔ)，使得學(xué)生全面系統(tǒng)地掌握高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).解析幾何為高中數(shù)學(xué)的主線內(nèi)容之一，而橢圓又是解析幾何的核心知識(shí)，后續(xù)雙曲線、拋物線等相關(guān)概念和處理技巧都從橢圓上遷移和生發(fā).在學(xué)習(xí)過程中，抓住核心知識(shí)，就能做到相當(dāng)程度地統(tǒng)籌全局.近年來，命題人特別注意在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)題目，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)本身的縱向延伸，同時(shí)增強(qiáng)知識(shí)分支間的橫向拓展[3].如本題中，圓錐曲線中角度的表達(dá)是對(duì)圓錐曲線本身表征的延伸.同時(shí)，通過向量、到角公式、面積法等，實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)分支之間的橫向拓展.在學(xué)習(xí)過程中，我們要洞察知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通.

4.2摒棄細(xì)分思想，引導(dǎo)多維探究，提倡思維創(chuàng)新

近年來，許多題目創(chuàng)新了設(shè)問方式，進(jìn)一步增強(qiáng)試題的探索性和解法的開放性，鼓勵(lì)學(xué)生多角度分析解決問題，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).教師要摒棄細(xì)分試題類型、總結(jié)解題套路等固化的授課模式[3].如本題有向量、到角公式、距離轉(zhuǎn)化、面積法等多種方法，這些知識(shí)隸屬于平面向量、直線、解三角形等知識(shí)模塊.如果在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中，一味細(xì)分題型，總結(jié)套路，就容易造成知識(shí)和方法的割裂，進(jìn)而不能完整地解出題目.另外，角度既可以使用向量的數(shù)量積表達(dá)其余弦值，又可用斜率表達(dá)其正切值，也可以用面積表達(dá)其正弦值.這要求教師合理引導(dǎo)學(xué)生，從解法上探究，從命題背景上探究.從一題多解上探究同一問題的不同表征，從背景上探究多題的本質(zhì)相同性.本文的變式與例證就是這一觀點(diǎn)的一種闡釋.

4.3適度高位知識(shí)，注重因材試教，激發(fā)成就動(dòng)機(jī)

所謂高位知識(shí)，是指在學(xué)生知識(shí)體系之外，高于學(xué)生認(rèn)知的知識(shí)，其包括高等數(shù)學(xué)的弱化，初等數(shù)學(xué)的升華，跨學(xué)科的融合等等.高位知識(shí)并非深不可測(cè)，教師可以通過對(duì)現(xiàn)有知識(shí)、常見題型和解題模式進(jìn)行總結(jié)、升華，最后自然地生發(fā)而成.高位知識(shí)，能夠?qū)㈩}目、解法、解答技巧進(jìn)行貫通，更加趨近問題本質(zhì).如在極點(diǎn)極線視角下，本文的諸多例證就具有了統(tǒng)一性.當(dāng)然，高位知識(shí)要根據(jù)學(xué)生學(xué)情，合理適度滲透.如對(duì)基礎(chǔ)較薄弱學(xué)生，只關(guān)注圓錐曲線的解題流程和各種量的轉(zhuǎn)化方式.對(duì)普通學(xué)生，在掌握解法的基礎(chǔ)上，可以從命題背景的形式上，相對(duì)模糊地建立起一種“關(guān)聯(lián)”.而對(duì)于優(yōu)等生，則可以通過立足相對(duì)高度，多次講解、多維探索，最終達(dá)到解法和問題本質(zhì)的深度交互理解.作為教師，要因材試教，讓不同層次學(xué)生各有所獲，激發(fā)他們的成就動(dòng)機(jī)

參考文獻(xiàn)

[1]唐宜鐘.三直線斜率等差性質(zhì)的初等證明[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（5）：27-30.

[2]唐宜鐘，衛(wèi)靜.圓錐曲線中一類與平行線相關(guān)的定點(diǎn)問題解答及其推廣［J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2025（1） ：43-46.

[3]教育部教育考試院.更新理念深化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)創(chuàng)新題型考查思維能力：2025年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評(píng)析[J].中國考試，2025（7）：89-94.

作者簡介唐宜鐘（1988—），男，陜西漢中人，中學(xué)一級(jí)教師，主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)競賽，有多篇論文發(fā)表.

王芳妮（1987—），女，陜西寶雞人，中學(xué)一級(jí)教師，主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)強(qiáng)基，有多篇論文發(fā)表.