邏輯量詞“任意”與“存在”互換可行嗎

1問題提出

例1對 ?x₁∈R ， ?x₂∈[3，4] ，使得不等式 x₁²+x₁x₂ 成立，則實數 m 的取值范圍是（ ）.

解法1先看成關于 x₁ 的二次函數恒成立，即 x₁²+（x₂- 2）x₁+x₂²-mx₂-3?0，Δ=（x₂-2）²-4（x₂²-mx₂-3）? 0，即 -3x₂²+（4m-4）x₂+16?0. 接下來就轉化為 [3，4]，使得 成立，所以 +4=12 ，解得 m?3 ，選D.

解法2 按照題目理解，題設等價 f（x₂）=x₂+ 的最大值 g（x₁） 的最小值

解

在同一坐標系作出兩函數圖象，如圖1，取大函數，所以 （204

那么上述兩種解法是否都正確呢？其實解法1是錯誤的，那為什么算出來的答案一樣，是巧合，還是必然？我們再次回到上述的題目，通過分析可知g（x₁） 取得最小值的時候，剛好就是其中一個關于 x₁ 的二次函數 y₂ 取對稱軸的時候，并且 y₂ 正好是 f（4） .相當于當 x₁=- 1，x₂= 4 時取得，這個正好與解法1中兩個取等條件 ，x=4湊巧一致了.

圖1

2 改變條件，再探問題

例2對 ?x₁∈R ， ?x₂∈[1，12] ，使得不等式 x₁²+x₁x₂ 成立，求實數 m 的取值范圍.

如果按照解法1的錯誤邏輯.先看成關于 x₁ 的二次函數恒成立，即 x₁²+（x₂-2）x₁+x₂²-mx₂-3?0，Δ=（x₂-2）² -4（x₂²-mx₂-3）?0 ，即 -3x₂²+（4m-4）x₂+16?0. 接下來就轉化為 ?x₂∈[1，12] ，使得 成立，所以 ，解得 當x =12 取到.

正解 等價轉化為 [1，12］的最大值 g（x₁） 的最小值 g（x₁）_min?m

解

在同一坐標系作出兩圖象，取大函數，所以 g（-3）=10.

綜上 m?10

通過上述的案例，我們也發現了解題中常用邏輯用語“任意”與“存在”互換是不可行的.

3 回歸教材，概念解讀

解答上述困惑，我們有必要對常用邏輯用語“任意”與“存在”在人教版教材中的概念進行解讀，教材中這樣寫到：

短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ?^′′ 表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.通常，將含有變量 x 的語句用 p（x），q（x），r（x），… 表示，變量 x 的取值范圍用 M 表示.那么，全稱量詞命題“對 M 中任意一個 _x，p（x） 成立”可用符號簡記為： ?x∈M，p（x） ：

短語“存在一個\"“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題\"存在 M 中的元素 _x，p（x） 成立”可用符號簡記為： ?x∈M，p（x） 成立.

教材中只介紹了單一的全稱量詞命題和存在量詞命題，那么實際問題中只存在這么簡單的語句嗎？顯然不是，本文開頭提出的例1就是兩者的組合，那么如果互換兩個量詞表示的含義相同嗎？

我們對本文提出的問題，參考教材對全稱量詞命題，存在量詞命題的定義，可以抽象出如下一對命題進行釋疑：

① 對任意 x ，存在 y ，使得 p 成立② 存在 y ，對任意 x ，都有 p 成立.

假設 ② 成立，使 ② 成立的那個 y 記為 y₀ ，那么在 ① 中，任取 x ，令 y=y₀ ，那么根據 ②，p 就成立；反之可以舉出很多反例.

換句話說，對任意 x 都有一個相應的 y 使得 p 成立，并不意味著有個“公共的” y 使得對任意的 x 都能讓 p 成立

反過來，如果有那么一個公共的 y ，使得對任意 都成立，那么對任意 x ，這個公共的 y 都能與 x 配合使得 p 成立.

當然對上述一對命題，我們也可以打個形象的比方，存在一個母親是一群孩子中任意一個孩子的媽媽，意味著這個母親是這些孩子公共的母親，這些孩子都是她的孩子，這里存在的是唯一，任意是任意.再看另一種對一群孩子中任意一個孩子都存在一個人是他的媽媽，當然每個孩子都會有一個媽媽，他們的媽媽也未必是同一個人，可能每個人都有一個不同的媽媽，這里任意是任意，但存在可以不唯一，可以是不同的.

4 拓展與證明

上述案例中我們看到了邏輯量詞“任意”與“存在”的不可交換性，那么其他邏輯量詞之間的可交換性如何呢？

設 ，我們記雙量詞命題： .其中 Q_i（i=1，2） 表示在 ? 符號和符號里面取；

表示一個至少含有變元 x₁，x₂ ，也可能含有其他一系列變元 y 的命題 φ

（1）當 Q₁≠Q₂ ，不妨設 Q₁=?，Q₂=? ，原則上 Q₁，Q₂ 不能交換，且交換前后的命題有如下關系： ?x₁（?x₂φ（x₁ ， ：

證明 假設 ，令 x₀ 滿足 .任取 x₂ ，因為 ，所以 φ（x₀） ， ，所以

故 ，證畢.

但上述結論反之不一定成立，反例如下：

）成立，然而 N（?m∈N（n=m+1） ）卻不成立.

（2）當 Q₁=Q₂ ，分兩種情況考慮：

① 當 ，有 ：

證明假設 ），任取 x₂ ，任取 x₁ ，因為 ，所以 .所以 ?x₁φ（x₁ ， ，故 .所以 ?x₁（?x₂φ（x₁，x₂ ．同理有 ?x₂（?x₁φ（x₁，x₂ ）.故命題成立.換句話說邏輯量詞 H 和 ? 可以交換.

② 當 ，有

證明 假設 ，令 x₁^′ 滿足 ，令 x₂^′ 滿足 ．所以 ，所以 所以

同理有 故命題成立.換句話說邏輯量詞和可以交換.

5 應用

明白了邏輯量詞的交換性與不可交換性，在實際的解題過程中，我們可以靈活處理，提高解題的效率.

例3已知任意 a∈[-1，2] ，若存在實數 b 使不等式∣x²-ax∣?b 對任意的 x∈[0，2] 恒成立，則（ ）

A. b 的最小值為4 B.b的最小值為6

C. b 的最小值為8 D. b 的最小值為10

常規思路 由題意得 bgt;0 ，可得 ∣x²-ax∣?b ，等價于-b?x²-ax?b ，又 x=0 ，不等式顯然成立，只需要考慮0 由任意的 a∈ [?1，2]，即

一方面 ，即 b?x（x+1） 對任意的 0 ，即 對任意的 0 在 0lt; x?2 的最大值為 f（1）= 1 ，故 b?1 （20號

綜上所述， b?6 ，故選B.

改進解法 看成 α_a 的函數，所以 y= ∣x²-ax 在 a=-1 或 λ_a=2 處取得最大值.

max |x²+x| x∣，∣x²-2x∣}=max∣6，1∣=6. 故選B.

總結此類問題學生易定性思維，認定 x 為主元，處理關于 x 的代數式，陷入分類討論的困局，考慮到“任意的 Ψ_a ”與“任意的 b ”，兩個任意性滿足可交換性，若能建立這種反客為主的想法，往往能柳暗花明，輕松解決.

6教學歷程感悟

邏輯用語的順序很重要，如果把一句話的順序顛倒，很可能意思就會變得完全不一樣.特別是我們數學教師，課堂上要注重語言的邏輯順序，有些話顛倒了，學生可能就會聽不懂.反過來學生也是一樣，數學課如果只是表面化的學習，很可能就會不理解概念的來龍去脈，造成知識的困惑.全稱量詞和存在量詞是邏輯學的基石，它們幫助我們精確地表達和理解涉及個體數量的命題.理解這些量詞對于邏輯推理和有效溝通至關重要.

在我們日常的教學中，更應注重問題的探究，邏輯用語交換順序這樣看似不起眼的小問題，背后卻藏著大學問.作為一線教育工作者，如何引領學生追問并探尋數學知識的“根源”，一方面要求學生對數學知識不僅“知其然”，更“知其所以然”，要對知識的產生、發源地進行回溯、探訪，進而把握知識本質、結構；另一方面要求學生明晰每一個數學知識點背后的“上位知識”和“下位知識”，它“來自何處又去向何方”，它是以怎樣的方式和途徑\"來去”的，要“既見樹木，又見森林”[1].

參考文獻

[1］張永杰.探“源”引“流”：對高中數學教學的思考［J].數學教學通訊，2016（36）：24-25.

作者簡介金曉江（1988—），男，浙江紹興人，浙江紹興市第十三屆學科帶頭人；研究方向為初等數學教學.

周建（1983—），男，浙江紹興人，柯橋區高中數學教研員；研究方向為初等數學教學策略與優化.

李子灝（2004—），男，江西新余人，本科生;研究方向為初等數學.